球対称井戸型ポテンシャル のバックアップソース(No.4)

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* 球形の箱の中の粒子 [#h9e0cd19]

　&math(
V(r)=\begin{cases}
0&(r<=a)\\
V_0&(r>a)\\
\end{cases}
);

の場合には、&math(\chi(r)=rR(r)); を考えるよりも &math(R(r)); をそのまま扱った方が都合がよい。

　&math(\rho=\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}r);

と置くことにより、箱の内部の方程式は

　&math(
\frac{d^2R}{d\rho^2}+\frac{2}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0
);

となる。

この解は''球ベッセル関数'' &math(j_l(\rho)); と呼ばれる。

　&math(j_l(\rho)=(-\rho)^l\left(\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right)^l\frac{\sin\rho}{\rho});

　&math(j_0(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho});

　&math(j_1(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho^2}-\frac{\cos\rho}{\rho});

　&math(j_2(\rho)=\left(\frac{3}{\rho^3}-\frac{1}{\rho}\right)\sin\rho-\frac{3}{\rho^2}\cos\rho);

　&math(j_3(\rho)=\left(\frac{6}{\rho^2}-\frac{15}{\rho^4}\right) \sin\rho-\left(\frac{1}{\rho}-\frac{15}{\rho^3}\right) \cos\rho);

　...

[[詳しい導出はこちら>@量子力学Ⅰ/球対称井戸型ポテンシャル/メモ#q4e20ed3]]

** 特徴 [#mf1aed18]

- 原点で発散することはない
-- &math(j_0(\rho)=1);
-- &math(l\ge 1); では &math(j_l(\rho)=0);
- &math(\rho); の大きいところでは、
-- &math(l); が奇数なら &math((-1)^l\big(\sin\rho\big)/\rho);
-- &math(l); が偶数なら &math((-1)^l\big(\cos\rho\big)/\rho);
- &math(\sin); や &math(\cos); の周期性を反映して &math(j_l(\rho)=0); を満たす根を無限個持つ
- &math(\rho); の小さいところでは、&math(l); が大きいほどゆっくり振動する
-- &math(j_{l+4}); は &math(j_l); に比べて振動回数が１回少ない

&attachref(SphericalBesselJ.png,,66%);

&attachref(SphericalBesselJ1.png,,66%);

&math(j_l(\rho)); の代わりに &math(|\rho j_l(\rho)|^2); をプロットすると下のようになる。
&math(\rho); の大きいところでは &math((1\pm\cos 2\rho)/2); に漸近する。

&attachref(SphericalBesselJ2.png,,66%);

** 境界条件 [#g9f280dc]

１次元の箱形ポテンシャルのところで学んだのと同様に、
&math(V_0=+\infty); の場合には &math(r=a); において &math(j_l(\rho(r))=0); 
が要求されるから、

　&math(j_l\Big(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}a\Big)=0);

により &math(\varepsilon); が決定される。

&math(V_0); が有限の場合にも、&math(r=a); における位相が少しずれるものの、
外部の解と連続かつなめらかに接続する条件から &math(\varepsilon); が決定される。

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* 質問・コメント [#z49eb7a9]

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