球座標を用いた変数分離 のバックアップソース(No.2)
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[[量子力学Ⅰ]] #contents &mathjax(); * 極座標 [#x544b994] &math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} ); ** 微分の変換 [#xba4e8e0] &math(df=\frac{\PD f}{\PD r}dr+\frac{\PD f}{\PD \theta}d\theta+\frac{\PD f}{\PD \phi}d\phi); に、&math(dr=\frac{\PD r}{\PD x}dx,\ d\theta=\frac{\PD \theta}{\PD x}dx,\ d\phi=\frac{\PD \phi}{\PD x}dx); を代入すれば、 &math(df=\frac{\PD f}{\PD r}\frac{\PD r}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \theta}\frac{\PD \theta}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \phi}\frac{\PD \phi}{\PD x}dx); 変形して、 &math(\frac{\PD }{\PD x}f=\Big(\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\Big)f); したがって、 &math(\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ ); 同様にして、 &math( \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD y}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD z}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ \end{cases} ); のように変換される。 ** 具体的に計算する [#t892cda9] 全微分の時と異なり、&math(\frac{\PD r}{\PD x}\ne\Big(\frac{\PD x}{\PD r}\Big)^{-1}); であることに注意せよ。 &math(r^2=x^2+y^2+z^2); より、&math(2r\frac{\PD r}{\PD x}=2x); などが得られて、 &math( \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD r}{\PD x}=\frac{x}{r}=\sin\theta\cos\phi\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD r}{\PD y}=\frac{y}{r}=\sin\theta\sin\phi\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD r}{\PD z}=\frac{z}{r}=\cos\theta\\ \end{cases} ); &math(\tan^2\theta=\frac{x^2+y^2}{z^2}); より、 &math(\frac{1}{\cos^2\theta}\frac{\PD \theta}{\PD y}=\frac{2x}{z^2}); &math(\frac{\not\!2\tan\theta}{\cos^2\theta}\frac{\PD \theta}{\PD x}=\frac{\not\! 2x}{z^2});、 &math(\frac{\not\!2\tan\theta}{\cos^2\theta}\frac{\PD \theta}{\PD y}=\frac{\not\! 2y}{z^2});、 &math(\frac{\not\!2\tan\theta}{\cos^2\theta}\frac{\PD \theta}{\PD z}=-\not\!2\frac{x^2+y^2}{z^3});、 &math( \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD \theta}{\PD x}=\frac{r\sin\theta\cos\phi}{r^2\cos^2\theta}\frac{\cos^2\theta}{\tan\theta}=\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD \theta}{\PD y}=\frac{r\sin\theta\sin\phi}{r^2\cos^2\theta}\frac{\cos^2\theta}{\tan\theta}=\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD \theta}{\PD z}=-\frac{r^2\sin^2\theta}{r^3\cos^3\theta}\frac{\cos^2\theta}{\tan\theta}=-\frac{1}{r}\sin\theta \end{cases} ); &math(\tan\phi=\frac{y}{x}); より、 &math(\frac{1}{\cos^2\phi}\frac{\PD\phi}{\PD x}=-\frac{y}{x^2});、 &math(\frac{1}{\cos^2\phi}\frac{\PD\phi}{\PD y}=\frac{1}{x});、 &math(\frac{1}{\cos^2\phi}\frac{\PD\phi}{\PD z}=0); であるから、 &math( \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD \phi}{\PD x}=-\frac{r\sin\theta\sin\phi}{r^2\sin^2\theta\cos^2\phi}\cos^2\phi=-\frac{\sin\phi}{r\sin\theta}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD \phi}{\PD y}=\frac{1}{r\sin\theta\cos\phi}\cos^2\phi=\frac{\cos\phi}{r\sin\theta}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD \phi}{\PD z}=0 \end{cases} ); これらを代入して、 &math( \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD}{\PD x}= \sin\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD r} +\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD \theta} -\frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD}{\PD y}= \sin\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD r} +\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD \theta} +\frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle \frac{\PD}{\PD z}= \cos\theta \frac{\PD}{\PD r} -\frac{1}{r}\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\\[4mm] \end{cases} ); ** 球座標表示のラプラシアン [#w0c305d4] &math(\triangle=\nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD y^2}+\frac{\PD^2}{\PD z^2}); に上記を代入するだけ! ・・・ 実際やってみるとえらい大変。→ [[計算の詳細>量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子の運動/メモ#o621468a]] 結果だけまとめると、 &math(\nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r} \frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\Lambda); ただし、 &math(\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}); * 極座標で表わしたシュレーディンガー方程式 [#mfb957f5] * 球関数 $Y^m_l(\theta,\phi)$:角運動量の固有関数 [#s564caed] * 動径方向の固有関数 [#y54f7421] ** 球形の箱形ポテンシャル [#u7cec361] ** 3次元調和振動子 [#tf639724] ** 水素原子(静電ポテンシャル) [#c5480582]
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