球座標を用いた変数分離 のバックアップ(No.6)

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量子力学Ⅰ

極座標

&math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} );

微分の変換

極座標で表わされた関数 f(r,\theta,\phi) について考える。

x が微小量 dx だけ変化した結果、 f df だけ変化したとする。

また dx の変化のために r,\theta,\phi もそれぞれ dr,d\theta,d\phi だけ変化したとする。

このとき、

  df=\frac{\PD f}{\PD r}dr+\frac{\PD f}{\PD \theta}d\theta+\frac{\PD f}{\PD \phi}d\phi

に、 dr=\frac{\PD r}{\PD x}dx,\ d\theta=\frac{\PD \theta}{\PD x}dx,\ d\phi=\frac{\PD \phi}{\PD x}dx を代入すれば、

  df=\frac{\PD f}{\PD r}\frac{\PD r}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \theta}\frac{\PD \theta}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \phi}\frac{\PD \phi}{\PD x}dx

一方、 df=\frac{\PD f}{\PD x}dx であるから、

  \frac{\PD }{\PD x}f=\Big(\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\Big)f

したがって、

 &math(\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ );

同様にして、

 &math( \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD y}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD z}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ \end{cases} );

のように変換される。

計算を進めるには、 \frac{\PD r}{\PD x} などを求める必要がある。

演習:偏微分の計算

以下、全微分の時と異なり \frac{\PD r}{\PD x}\ne\Big(\frac{\PD x}{\PD r}\Big)^{-1} であることに注意せよ。

(1) r^2=x^2+y^2+z^2 の関係を用いて、 \frac{\PD r}{\PD x},\frac{\PD r}{\PD y},\frac{\PD r}{\PD z} r,\theta,\phi で書き表せ。

(2) \tan^2\theta=\frac{x^2+y^2}{z^2} の関係を用いて、 \frac{\PD \theta}{\PD x},\frac{\PD \theta}{\PD y},\frac{\PD \theta}{\PD z} r,\theta,\phi で書き表せ。

(3) \tan\phi=\frac{y}{x} の関係を用いて、 \frac{\PD \phi}{\PD x},\frac{\PD \phi}{\PD y},\frac{\PD \phi}{\PD z} r,\theta,\phi で書き表せ。


上記結果を代入すれば、

 &math( \begin{cases}

\displaystyle\frac{\PD}{\PD x}= \sin\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD r}

  1. \frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
  • \frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle\frac{\PD}{\PD y}= \sin\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD r}

  1. \frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
  2. \frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle \frac{\PD}{\PD z}= \cos\theta \frac{\PD}{\PD r}

  • \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\\[4mm]

\end{cases} );

球座標表示のラプラシアン

  \triangle=\nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD y^2}+\frac{\PD^2}{\PD z^2}

に上記を代入するだけ! ・・・ 実際やってみるとえらい大変。→ 計算の詳細

結果だけまとめると、

  \nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r} \frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda

ただし、

 &math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

球座標の角運動量演算子

単に代入すればよいのだけれど、これも計算は大変 → 詳細はこちら

&math( \begin{cases} \displaystyle \hat l_x=-i\hbar\Big(y\frac{\PD}{\PD z}-z\frac{\PD}{\PD y}\Big) =i\hbar\Big(\sin\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_y=-i\hbar\Big(z\frac{\PD}{\PD x}-x\frac{\PD}{\PD z}\Big) =i\hbar\Big(-\cos\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_z=-i\hbar\Big(x\frac{\PD}{\PD y}-y\frac{\PD}{\PD x}\Big) =-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} \end{cases} );

全角運動量は、

 &math( \hat{\bm l}^2&=\hat l_x^2+\hat l_y^2+\hat l_z^2 =-\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\PD}{\PD\theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD\theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\PD^2}{\PD\phi^2}\Big] =-\hbar^2\hat\Lambda );

注目すべき重要な結果

ラプラシアン:

  \nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r} \frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda

 &math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

z 軸周りの運動量:

 &math( \hat l_z=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} );

全角運動量:

 &math( \hat{\bm l}^2=-\hbar^2\hat\Lambda );

ラプラシアンの 1/r^2 の項の係数は、 全角運動量の演算子と -\hbar^2 の係数を除いて等しい。

極座標で表わしたシュレーディンガー方程式

 &math( \Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\Big)+V(r)\Big]\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi) );

変数を分離する

\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi) と置けば、

 &math( &\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\Big)\varphi(r,\theta,\phi)+\Big(\varepsilon-V(r)\Big)\varphi(r,\theta,\phi)=0\\);

 &math( &\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\);

 &math( &\frac{\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}\\ );

左辺は r のみの関数、右辺は \theta,\phi のみの関数であるから、 これらは定数でなければならない。

その定数を後を見越して l(l+1) と置いておく。すなわち、

 &math( &\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1) R(r)\\);

 &math( &-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}-\frac{l(l+1)}{r^2}+V(r)\Big)R(r)=\varepsilon R(r)\\ );

 &math( \hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0 );

のように、動径方向の方程式と回転方向の方程式に分離された。

回転方向の方程式には V(r) が含まれないため、 具体的なポテンシャルの形状に依らず解くことができる。

特徴

  • (m-|m|)/2=\begin{cases}0&m>=0\\m&m<0\end{cases} より、 &math((-1)^{(m-|m|)/2}=\begin{cases}
  1. 1\hspace{0.5cm}&m>0\ または\ m\,が偶数\\
  • 1&m<0\ かつ\ m\,が奇数 \end{cases});
  • \sin\theta \cos\theta l 次同次関数になっている ( 3\cos^2\theta-1=2\cos^2\theta-\sin^2\theta などとなることに注意せよ)
  • \hat{\bm l^2}Y_l^m=-\hbar^2l(l+1) すなわち、全角運動量は -\hbar^2l(l+1) である
  • \hat l_zY_l^m=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi}Y_l^m=\hbar mY_l^m すなわち、 z 軸周りの角運動量は \hbar m である

形状

\theta,\phi 方向別に |Y_l^m(\theta,\phi)|^2 の大きさをプロットした。

  • \phi 方向は位相が回転するだけで大きさは変化しない
  • Y_l^m Y_l^{-m} は位相のみが異なり、同じ形になる
  • Y_0^0 は球形
  • Y_l^0 ( l>0 )は原点に節を持ち z 方向に長く、 原点周りに l-1 枚のひだを持つ。 l が大きいほど z 方向への伸びが長くなる。
  • Y_l^m ( |m|>0 ) は z 方向には値を持たず、 z 軸を取り囲むように l+1-|m| 枚のひだを持つ。
  • Y_l^l はドーナツ型になる。 l が大きいほど扁平で、半径も大きい。

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l=0 File not found: "Y0-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

l=1 File not found: "Y1-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y1-1.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

l=2 File not found: "Y2-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y2-1.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y2-2.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

l=3 File not found: "Y3-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y3-1.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y3-2.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y3-3.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

l=4 File not found: "Y4-0.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y4-1.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y4-2.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y4-3.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付] File not found: "Y4-4.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

      m=0       m=1       m=2       m=3       m=4

$z$ が特殊なわけではない

上のグラフを見るとあたかも z が特殊な方向であるかのように錯覚するがそんなことはない。

  \frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)+Y_1^{1}(\theta,\phi)\big)

や、

  \frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)-Y_1^{1}(\theta,\phi)\big)

は、 \big(Y_1^{0}(\theta,\phi) とそっくり同じ形で、それぞれ x,y 方向を向いた関数となる。

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同じ量子数 l に属する、縮退した 2l+1 個の固有関数からなる任意の線形結合は すべて同じ固有値に属する固有関数となる。その中で特に \hat l_z の固有関数でもある物を Y_l^m と名付けたに過ぎない。

\hat l_z の固有関数であるように選んだのだから z が特殊な軸になっているというだけ。

  \frac{1}{2l+1}\sum_{m=-1}^l|Y_l^m(\theta,\phi)|^2=\frac{1}{2\sqrt\pi}

すなわち、球対称な定数関数となる。下図は l=1 の場合。

File not found: "Y1-0all.jpg" at page "量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離"[添付]

動径方向の固有関数

球形の箱形ポテンシャル

3次元調和振動子

水素原子(静電ポテンシャル)


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