量子力学Ⅰ/球面調和関数 のバックアップ差分(No.11)

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* 目次 [#d96730f5]

[[量子力学Ⅰ]]
#contents

&mathjax();

* 球関数 $Y^m_l(\theta,\phi)$:角運動量の固有関数 [#s564caed]

&math(\Theta); の方程式

 &math(\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1) \sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=m^2\Theta(\theta));

は、&math(l,m); が

 &math(l=0,1,2,3,\dots);

 &math(m=-l,-(l-1),\dots,(l-1),l);

の範囲の整数になるときのみ解を持ち、その固有関数は''ルジャンドルの陪関数''を用いて表わすことができる。

#ref(zeta.png,right,around,25%);
 &math(P_l^{|m|}(\zeta)=(1-\zeta^2)^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d\zeta^{|m|}}P_l(\zeta));

#ref(zeta.png,right,around,33%);
ただし、&math(P_l(\zeta)); は''ルジャンドルの多項式''で、

 &math(P_l(\zeta)=\frac{1}{\,2^l\,l!\,}\,\frac{d^l}{\,d\zeta^l\,}(\zeta^2-1)^l);

によって与えられる。これらを用いた

 &math(
Y_l^m(\theta,\phi)=
\underbrace{(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos\theta)}_{\Theta(\theta)}
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\phi}}_{\Phi(\phi)}
);

は規格直交完全な固有関数となり、この関数を ''球面調和関数'' と呼ぶ。((ここでは符号を &math(\Theta); に含めたが、符号を &math(\Phi); に含めても、両者で分け合っても、正規直交条件を満たすことはできる))

#multicolumns
&math(Y_0^0=\frac{1}{2 \sqrt{\pi }});

&math(Y_1^0=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi }} \cos (\theta ));

&math(Y_1^{\pm 1}=\pm\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{\pm i \phi } \sin (\theta ));

&math(Y_2^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{\pi }} \left(3 \cos ^2(\theta )-1\right));

&math(Y_2^{\pm 1}=\pm\frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{\pm i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ));

&math(Y_2^{\pm 2}=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{\pm 2 i \phi } \sin ^2(\theta ));
#multicolumns
&math(Y_3^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{7}{\pi }} \left(5 \cos ^3(\theta )-3 \cos (\theta )\right));

&math(Y_3^{\pm 1}=\pm\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{\pm i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right));

&math(Y_3^{\pm 2}=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{\pm 2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ));

&math(Y_3^{\pm 3}=\pm\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{\pm 3 i \phi } \sin ^3(\theta ));

・・・
#multicolumns(end)

** 特徴 [#t568ee09]

- &math((m-|m|)/2=\begin{cases}0&m>=0\\m&m<0\end{cases}); より、
&math(
(-1)^{(m-|m|)/2}=\begin{cases}
+1\hspace{0.5cm}&m\,が偶数\\
+1\hspace{0.5cm}&m\,が奇数でm>0\\
-1&m\,が奇数でm<0
\end{cases}
);
- &math(\sin\theta); と &math(\cos\theta); の &math(l); 次同次関数になっている
(&math(3\cos^2\theta-1=2\cos^2\theta-\sin^2\theta); などとなることに注意せよ)

** 形状 [#ac710070]

&math(\theta,\phi); 方向別に原点から &math(|Y_l^m(\theta,\phi)|); の距離の点を結ぶ曲面をプロットした。
色は位相を表しており、黄色が1、青が-1に対応する。

&attachref(spherical-harmonic-y1.png,,50%); &qr(http://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?plugin=attach&refer=%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E2%85%A0%2F%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E3%81%AE%E5%9B%BA%E6%9C%89%E9%96%A2%E6%95%B0&openfile=spherical-harmonic-y1.png);

- &math(\Theta); は実数関数である
- &math(\Phi); は位相を回転させるだけで大きさを変えない
- そのため絶対値のプロットは &math(z); 軸を中心とする回転体となり、また、&math(Y_l^m); と &math(Y_l^{-m}); は同じ形になる
- 位相は &math(\phi); が一周する間に &math(m); 回だけ回転する
- 位相は &math(Y_l^m); と &math(Y_l^{-m}); とで &math(xz); 平面に対して対称になる
- &math(\theta); 方向は隣り合う突出部で符号が反転することから、位相も反転する
- &math(Y_0^0); は球形
- &math(l>0); では &math(Y_l^l); はドーナツ型。&math(l); が大きいほど扁平で、半径も大きい。
全角運動量が大きくなるため原点から遠ざかり、&math(l\sim l_z); つまり &math(l_x,l_y); 成分がほぼゼロであるために扁平になると解釈できる。
- &math(\theta); 方向には &math(l-m+1); 個の突出部が見られる

** より分かりやすい表示 [#a4d982f1]

&math((Y_l^m\pm Y_l^{-m})/\sqrt{2}); をプロットすると、さらに球面調和関数の意味を理解しやすい。

- &math((\Phi_m+\Phi_{-m})/2 \propto \cos m\phi);, &math((\Phi_m-\Phi_{-m})/2i \propto \sin m\phi);
- したがって、&math(\Psi_l^m=\begin{cases}
\Big(Y_l^{|m|}-(-1)^{m}Y_l^{-|m|}\Big)/i\sqrt 2\hspace{5mm}&(m<0)\\
\hspace{1cm}Y_l^0&(m=0)\\
\Big(Y_l^{|m|}+(-1)^{m}Y_l^{-|m|}\Big)/\sqrt 2&(m>0)
\end{cases}); と置けば、すべて実数関数となる
- &math(\cos m\phi); と &math(\sin m\phi); も互いに直交するため、&math(\{\Psi_l^m\}); は正規直交系をなす

&attachref(spherical-harmonic-y2.png,,66%);
&qr(http://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?plugin=attach&refer=%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E2%85%A0%2F%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E3%81%AE%E5%9B%BA%E6%9C%89%E9%96%A2%E6%95%B0&openfile=spherical-harmonic-y2.png);

- &math(\Psi_l^m); は &math(\phi); の回転面内に &math(2m); 本の突起を持つ
- &math(\Psi_l^m); と &math(\Psi_l^{-m}); は半周期だけ &math(\phi); の位相がずれている
- &math(\theta); 方向には &math(l-m+1); 方向に分岐する
- 隣り合う突出部では波動関数の符号が反転している(節をまたぐと符号が反転する理由は下図参照)

#ref(wave-function-polarity.png,,75%);

** $z$ が特殊なわけではない [#oe386d3b]

上のグラフを見るとあたかも &math(z); が特殊な方向であるかのように錯覚するがそんなことはない。

 &math(\Psi_1{}^1=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)+Y_1^{1}(\theta,\phi)\big));

 &math(\Psi_1{}^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)-Y_1^{1}(\theta,\phi)\big));

は、&math(Y_1^{0}(\theta,\phi)); とそっくり同じ形で、それぞれ &math(x,y); 方向を向いた関数となる。

これらの関数は高校でも &math(p_x, p_y, p_z); 軌道として学んだ。

&attachref(Y1-0z.jpg,,33%); 
&attachref(Y1-0x.jpg,,33%); 
&attachref(Y1-0y.jpg,,33%); 

ある量子数 &math(l); に対して &math(m); の異なる &math(2l+1); 個の固有関数が縮退している。
それらの任意の線形結合はすべて同じ固有値 &math(l); に属する固有関数となる。
&math(z); 軸を特殊な方向として取る球座標を使って変数分離したことにより、
これらの線形結合の中から、同時に &math(\hat l_z); の固有関数でもある物が 
&math(Y_l^m); として現れたのである。

&math(\hat l_z); の固有関数であるから &math(z); が特殊な方向になったというだけのことである。

同じ &math(l); に属する固有関数をすべて足し合わせてしまえば、
次のように球対称な定数関数が得られる。

 &math(\sum_{m=-1}^l|Y_l^m(\theta,\phi)|^2=\frac{1}{2\sqrt\pi}(2l+1));

** 参考資料 [#q0452a7a]

- http://www.sccj.net/CSSJ/jcs/v3n1/a5/textj.html

* 演習:$m$ に関する漸化式 [#de06da6a]

 &math(\Phi_m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\phi}); より、
&math(e^{\pm i\phi}\Phi_m(\phi)=\Phi_{m\pm 1}(\phi));

一方、&math(Y_l{}^m(\theta,\phi)=\Theta_l{}^m(\theta)\Phi_m(\phi)); を 
&math(Y_l{}^{m\pm 1}(\theta,\phi)=\Theta_l{}^{m\pm 1}(\theta)\Phi_{m\pm 1}(\phi)); 
に変換するには、先に導入した演算子 

 &math(\hat l_\pm=\hat l_x\pm i\hat l_y);

が役に立つ。
具体的には &math(m); に対する次の漸化式が成り立つ。

 &math(
\begin{cases}
\,\hat l_+\,Y_l{}^{m}(\theta,\phi)=\hbar\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\,Y_l{}^{m+1}(\theta,\phi)\\
\,\hat l_-\,Y_l{}^{m}(\theta,\phi)=\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\,Y_l{}^{m-1}(\theta,\phi)\\
\end{cases}
);

すなわち、&math(\hat l_\pm); は量子数 &math(m); を1だけ増やす/減らす演算子になっている。

(1)
&math(Y_l{}^m); の &math(m); は &math(-l\le m\le l); の範囲に入らなければならなかった。
&math(m=\pm l); のとき、さらに1だけ &math(m); を増やそう/減らそうとすると何が起きるか?
上記の漸化式を元に確かめよ。

(2) &math(Y_l{}^m); は &math(\hat l_x,\hat l_y); の固有関数でも、&math(\hat l_+,\hat l_-); の固有関数でもないが、&math(\hat l_+\hat l_-); や &math(\hat l_-\hat l_+); の固有関数になっている。
その固有値を求めよ。

(3) &math(\frac{1}{2}\left( \hat l_+\hat l_-+\hat l_-\hat l_+\right)=\hat l_x^2+\hat l_y^2); となることを確かめよ

(4) (2),(3) の結果を用いて &math(\left(\hat l_x^2+\hat l_y^2\right)Y_l{}^m=\hbar^2(l^2-m^2+l)Y_l{}^m); を示せ。

[[●解答はこちら>@量子力学Ⅰ/角運動量の固有関数/メモ]]

** 解説 [#b6480998]

(4) より、&math(m=\pm l); のときにも 
&math(\big( \hat l_x^2+\hat l_y^2\big)Y_l{}^l=\hbar^2 l\,Y_l{}^l); 
となり &math(x,y); 方向の角運動量はゼロにならず、
次のように解釈できる。

 &math(
\bm l^2Y_l{}^l=\hbar^2 l(l+1)Y_l{}^l=\big(\underbrace{\ \hbar^2l^2\ }_{l_z^2} + \underbrace{\ \hbar^2l\ }_{l_x^2+l_y^2}\big)Y_l{}^l
);


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