量子力学Ⅰ/球面調和関数 のバックアップソース(No.5)

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[[量子力学Ⅰ]]
&mathjax();

** 球関数 $Y^m_l(\theta,\phi)$:角運動量の固有関数 [#s564caed]

&math(\Theta); の方程式

 &math(\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1) \sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=m^2\Theta(\theta));

は、&math(l,m); が

 &math(l=0,1,2,3,\dots);

 &math(m=-l,-(l-1),\dots,l-1,l);

の範囲の整数になるときのみ解を持ち、その固有関数は''ルジャンドルの陪関数''を用いて表わすことができる。

 &math(P_l^{|m|}(\zeta)=(1-\zeta^2)^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d\zeta^{|m|}}P_l(\zeta));

ただし、&math(P_l(\zeta)); は''ルジャンドルの多項式''で、

 &math(P_l(\zeta)=\frac{1}{\,2^l\,l!\,}\,\frac{d^l}{\,d\zeta^l\,}(\zeta^2-1)^l);

によって与えられる。これらを用いた

 &math(Y_l^m(\theta,\phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos\theta)e^{im\phi});

は規格直交完全な固有関数となり、この関数を ''球面調和関数'' と呼ぶ。

#multicolumns
&math(Y_0^0=\frac{1}{2 \sqrt{\pi }});

&math(Y_1^0=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi }} \cos (\theta ));

&math(Y_1^{\pm 1}=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{\pm i \phi } \sin (\theta ));

&math(Y_2^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{\pi }} \left(3 \cos ^2(\theta )-1\right));

&math(Y_2^{\pm 1}=\pm\frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{\pm i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ));

&math(Y_2^{\pm 2}=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{\pm 2 i \phi } \sin ^2(\theta ));
#multicolumns
&math(Y_3^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{7}{\pi }} \left(5 \cos ^3(\theta )-3 \cos (\theta )\right));

&math(Y_3^{\pm 1}=\pm\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{\pm i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right));

&math(Y_3^{\pm 2}=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{\pm 2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ));

&math(Y_3^{\pm 3}=\pm\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{\pm 3 i \phi } \sin ^3(\theta ));

・・・
#multicolumns(end)

*** 特徴 [#t568ee09]

- &math((m-|m|)/2=\begin{cases}0&m>=0\\m&m<0\end{cases}); より、
&math((-1)^{(m-|m|)/2}=\begin{cases}
+1\hspace{0.5cm}&m>0\ または\ m\,が偶数\\
-1&m<0\ かつ\ m\,が奇数
\end{cases});
- &math(\sin\theta); と &math(\cos\theta); の &math(l); 次同次関数になっている
(&math(3\cos^2\theta-1=2\cos^2\theta-\sin^2\theta); などとなることに注意せよ)
- 全角運動量の2乗 &math(\hat l^2); は &math(\hbar^2l(l+1)); である
- 全角運動量は &math(\hat l); は、本当は &math(\sqrt{\hbar^2l(l+1)}); であるが、慣例として &math(\hbar l); であるとする
- &math(z); 軸周りの角運動量 &math(\hat l_z); は &math(\hbar m); である

*** 形状 [#ac710070]

&math(\theta,\phi); 方向別に &math(|Y_l^m(\theta,\phi)|^2); の大きさをプロットした。

- &math(\phi); 方向は位相が回転するだけで大きさは変化しない
- &math(Y_l^m); と &math(Y_l^{-m}); は位相のみが異なり、同じ形になる
- &math(Y_0^0); は球形
- &math(Y_l^0); (&math(l>0);)は原点に節を持ち &math(z); 方向に長く、
原点周りに &math(l-1); 枚のひだを持つ。
&math(l); が大きいほど &math(z); 方向への伸びが長くなる。
- &math(Y_l^m); (&math(|m|>0);) は &math(z); 方向には値を持たず、
&math(z); 軸を取り囲むように &math(l+1-|m|); 枚のひだを持つ。
- &math(Y_l^l); はドーナツ型になる。
&math(l); が大きいほど扁平で、半径も大きい。

#ref(Y0-4.png,right,around,50%);

&math(l=0); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y0-0.jpg,,25%);

&math(l=1); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y1-0.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y1-1.jpg,,25%);

&math(l=2); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y2-0.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y2-1.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y2-2.jpg,,25%);

&math(l=3); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y3-0.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y3-1.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y3-2.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y3-3.jpg,,25%);

&math(l=4); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y4-0.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y4-1.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y4-2.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y4-3.jpg,,25%); &attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y4-4.jpg,,25%);

     &math(m=0);     &math(m=1);     &math(m=2);     &math(m=3);     &math(m=4);

*** $z$ が特殊なわけではない [#oe386d3b]

上のグラフを見るとあたかも &math(z); が特殊な方向であるかのように錯覚するがそんなことはない。

 &math(\frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)+Y_1^{1}(\theta,\phi)\big));

や、

 &math(\frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)-Y_1^{1}(\theta,\phi)\big));

は、&math(\big(Y_1^{0}(\theta,\phi)); とそっくり同じ形で、それぞれ &math(x,y); 方向を向いた関数となる。

&attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y1-0z.jpg,,33%); 
&attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y1-0x.jpg,,33%); 
&attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y1-0y.jpg,,33%); 

同じ量子数 &math(l); に属する、縮退した &math(2l+1); 個の固有関数からなる任意の線形結合は
すべて同じ固有値に属する固有関数となる。その中で特に &math(\hat l_z); の固有関数でもある物を
&math(Y_l^m); と名付けたに過ぎない。

&math(\hat l_z); の固有関数であるように選んだのだから &math(z); が特殊な軸になっているというだけ。

 &math(\frac{1}{2l+1}\sum_{m=-1}^l|Y_l^m(\theta,\phi)|^2=\frac{1}{2\sqrt\pi});

すなわち、球対称な定数関数となる。下図は &math(l=1); の場合。

&attachref(量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子/Y1-0all.jpg,,33%);

* &math(m); に関する漸化式 [#de06da6a]

 &math(\Phi_m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\phi});

であるから、

 &math(e^{\pm i\phi}\Phi_m(\phi)=\Phi_{m\pm 1}(\phi));

である。

しかし、&math(\Theta_l{}^m(\theta)); をそのままにして &math(\Phi_m(\phi)); 
だけ &math(m); を増減させてしまうとつじつまが合わなくなってしまう。

&math(Y_l{}^m(\theta,\phi)=\Theta_l{}^m(\theta)\Phi_m(\phi)); を 
&math(Y_l{}^{m\pm 1}(\theta,\phi)=\Theta_l{}^{m\pm 1}(\theta)\Phi_{m\pm 1}(\phi)); 
に変換するには、先に導入した演算子 &math(\hat l_{\pm}); が役に立つ。

具体的には、

 &math(
\begin{cases}
\hat l_+Y_l{}^{m}(\theta,\phi)=\hbar\sqrt{(l-m)(l+m+1)}Y_l{}^{m+1}\\
\hat l_-Y_l{}^{m}(\theta,\phi)=\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}Y_l{}^{m-1}\\
\end{cases}
);

すなわち、&math(\hat l_\pm=\hat l_x\pm i\hat l_y); は量子数 &math(m); 
を1だけ増やす/減らす演算子になっている。

シュレーディンガー方程式を解くに当たり、&math(m); は &math(-l\le m\le l); 
の範囲に入らなければならないという制約があったが、
&math(m=\pm l); のとき、さらに1だけ増やそう/減らそうとすると何が起きるか見てみれば、

 &math(Y_l{}^{\pm l}(\theta,\phi)\propto \sin^l\theta e^{\pm il\phi});

より、

 &math(
l_\pm Y_l{}^{\pm l}(\theta,\phi) 
&\propto \hbar e^{\pm i\phi}
\Big(\pm\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{i}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big)
\sin^l\theta e^{\pm il\phi}\\
&=\hbar e^{\pm i(l+1)\phi}
\Big\{\pm(l\sin^{l-1}\theta\cos\theta)+\frac{i\cos\theta}{\sin\theta}\cdot(\pm il\sin^l\theta)\Big\}\\
&=\hbar e^{\pm i(l+1)\phi}\Big(\pm l\sin^{l-1}\theta\cos\theta\mp l\sin^{l-1}\theta\cos\theta\Big)\\
&= 0
);

のように &math(Y_l{}^{\pm (l+1)}(\theta,\phi)=0); が得られる。

 &math(
&\hat l_-\hat l_+Y_l{}^{m}(\theta,\phi)=\hat l_-\hbar\sqrt{(l-m)(l+m+1)}Y_l{}^{m+1}
=\hbar^2(l+m+1)(l-m)Y_l{}^m\\
&\hat l_+\hat l_-Y_l{}^{m}(\theta,\phi)=\hat l_+\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}Y_l{}^{m-1}
=\hbar^2(l+m)(l-m+1)Y_l{}^{m}\\
);

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