量子力学Ⅰ/線形代数の復習 のバックアップソース(No.2)
更新* 目次 [#m4e60a23] [[量子力学I]] #contents #mathjax * 概要 [#c0204dae] 量子力学で用いる関数空間の概念について復習する。 [[線形代数II]]を履修済みの学生を念頭に置いている。 * 関数の線形空間 = 関数空間 [#ebae6101] ある決まった区間 &math(a<x<b);(ただし &math(a,b); は &math(\pm\infty); でも可) で定義される複素関数すべてからなる集合 &math(U); を考えると、&math(U); は関数の和と複素数倍に対して線形空間を為す。 すなわち、&math(f,g\in U);、&math(k\in\mathbb C); のとき、 &math(u=f+g); を &math(u(x)\equiv f(x)+g(x)); として、 &math(v=kf); を &math(v(x)\equiv kf(x)); として 定義すれば、&math(u,v\in U); であるから、&math(U); はこれらの演算に対して閉じている。 以下、数ベクトル空間と対比させながら関数空間について復習する。 * ベクトルのグラフ [#m25c4a20] #multicolumns &math(\bm a=(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)^T\in\mathbb R^n); のとき、 添字 &math(k); に対して &math(a_k); をプロットすれば、 「ベクトルのグラフ」を表示できる。 #multicolumns &math(u(x)\in U); のとき、 変数 &math(x); に対して &math(u(x)); をプロットすれば、 「関数のグラフ」を表示できる。 #multicolumns(end) #multicolumns &ref(線形代数II/関数空間/vector1.png,,33%); &math(k); から &math(a_k); への対応関係を決めると、 それが1つのベクトルを決めることに相当する。 #multicolumns &ref(線形代数II/関数空間/function.png,,33%); &math(x); から &math(u(x)); への対応関係を決めると、 それが1つの関数を決めることに相当する。 #multicolumns(end) ~ このグラフで考えると、 - ベクトルの和はグラフの上下方向への重ね合わせに - ベクトルの定数倍はグラフの上下方向の引き延ばしに それぞれ対応する。 ただし本来、ベクトルや関数の値は複素数を想定しているので、 上記グラフはあくまで概念的な物である。 * 内積・ノルム・直交・規格化・正規直交 [#a0503298] 以下で用いる &math(A^\dagger); の記号は行列 &math(A); のエルミート共役(随伴行列)を表わしており、&math(A^\dagger\equiv (A^T)^*); と定義される。 ただし、&math(A^T); は &math(A); の転置行列、&math(A^*); は &math(A); の複素共役行列である。 #multicolumns ''[標準内積]'' &math((\bm a,\bm b)\equiv\bm a^\dagger\bm b =\sum_{k=1}^n a_k^*b_k); 複素内積では &math(a_k); に &math(^*); が付く。 #multicolumns ''[標準内積]'' &math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,u^*(x)v(x)=\int_a^bdx\,\big(u(x)\big)^*v(x)); &math(U); は &math(a<x<b); で積分可能な関数の集合とする。 #multicolumns(end) #multicolumns ''[非負性]'' 任意の &math(\bm a); に対して~ &math((\bm a,\bm a)=\sum_{k=1}^na_k^*a_k=\sum_{k=1}^n|a_k|^2\ge 0); &math((\bm a,\bm a)= 0); となるのは &math(\bm a=\bm 0); に限る。 #multicolumns ''[非負性]'' 任意の &math(u(x)); に対して~ &math((u,u)=\int_a^bdx\,u^*(x)u(x)=\int_a^bdx\,|u(x)|^2\ge 0); &math((u,u)= 0); となるのは &math(u(x)=0); に限る。 #multicolumns(end) #multicolumns ''[ノルム]'' &math(|\bm a|\equiv\sqrt{(\bm a,\bm a)}); #multicolumns ''[ノルム]'' &math(\|u\|\equiv\sqrt{\int_a^bdx\,|u(x)|^2}); 複素数 &math(u(x)); の絶対値 &math(|u(x)|); と区別するため &math(\|u(x)\|); と書く。 #multicolumns(end) #multicolumns ''[正規化]'' &math(\bm e=\frac{1}{|\bm a|}\bm a); とすれば &math(|\bm e|=1); #multicolumns ''[正規化]'' &math(g(x)=\frac{1}{\|u\|}u(x)); とすれば &math(\|g\|=1); #multicolumns(end) #multicolumns ''[直交]'' &math((\bm a,\bm b)=0); のとき &math(\bm a\perp\bm b); #multicolumns ''[直交]'' &math(\int_a^bdx\,u^*(x)v(x)=0); のとき &math(u\perp v); #multicolumns(end) #multicolumns ''[正規直交]'' ベクトルの組 &math(\set{\bm e_k}); に対して &math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij}); #multicolumns ''[正規直交]'' 関数の組 &math(\set{\psi_k(x)}); に対して &math(\int_a^bdx\,\psi_i(x)^*\psi_j(x)=\delta_{ij}); #multicolumns(end) * 完全性・成分表示 [#u2490b82] #multicolumns ''[張る]'' ベクトルの組 &math(\set{\bm b_k}); が線形空間 &math(V); を張るとは、 任意の要素 &math(\bm x\in V); を次のように線形結合として表せることである。 &math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm b_k); 以下では &math(\{\bm e_i\}); を &math(V); を張る正規直交系、 すなわち &math(V); の正規直交基底であるとする。 #multicolumns ''[完全]'' 関数系 &math(\set{\psi_k(x)}); が集合 &math(U); で完全であるとは、 任意の関数 &math(f(x)\in U); を次のように線形結合として表せることである。 &math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\psi_k(x)); 以下では &math(\{\psi_i(x)\}); を &math(U); における正規直交完全系であるとする。 #multicolumns(end) #multicolumns ''[成分表示]'' &math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k); と分解するとき、 その係数は &math(x_k=(\bm e_k,\bm x)); として求められる。(あるいは &math(x_k=(\bm x,\bm e_k)^*);) すなわち、 &math(\bm x=\sum_{k=1}^n (\bm e_k,\bm x)\bm e_k); #multicolumns ''[成分表示]'' &math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\psi_k(x)); と分解するとき、 その係数は &math(f_k=\int_a^bdx\,\psi_k^*(x)f(x)); として求められる。 すなわち、 &math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty \Bigg[\int_a^bdx'\,\psi_k^*(x')f(x')\Bigg]\psi_k(x)); #multicolumns(end) #multicolumns ''[正規直交基底の条件]'' 上式を変形すれば、 &math(\bm x=\Big(\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger\Big) \bm x); となり、任意のベクトル &math(\bm x); に対して成り立つから、 &math(\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger=E); である。この式を正規直交基底の条件とする場合もある。 #multicolumns ''[正規直交完全性の条件]'' 上式を変形すれば &math(f(x)=\int_a^bdx'\,\Big[\sum_{k=1}^\infty \psi_k^*(x')\psi_k(x)\Big]f(x')); となり、任意の関数 &math(f); に対して成り立つから、 &math(\sum_{k=1}^\infty \psi_k^*(x')\psi_k(x)=\delta(x'-x)); である。この式を正規直交完全性の条件とする場合もある。 #multicolumns(end) #multicolumns ''[成分とノルム]'' &math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k); のとき、 &math(|\bm x|^2=\sum_k^n |x_k|^2); #multicolumns ''[成分とノルム]'' &math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\psi_k(x)); のとき、 &math(\|f\|^2=\sum_k^\infty |f_k|^2); #multicolumns(end) * 部分空間 [#q57c00e9] たとえば、 &math(V=\set{f|f\in U\ \mathrm{and}\ f(a)=f(b)=0}); とすれば &math(V\subset U); であり、なおかつ &math(V); は和とスカラー倍について閉じているから &math(V); は部分空間をなす。 このように、&math(U); に和やスカラー倍で保存する何らかの制約を課した部分空間を考えることも よく行われる。 実際、あまりおかしな関数まで &math(U); に含めてしまうと 内積を定義するための積分が発散するとか、関数を展開した無限級数が発散するとか、 おかしなことが起きてしまう。以下では数学的な厳密性は追わず、 &math(U); は普通に思い浮かべるような、素性の良い関数のみから成る空間であるとする。 * 線型変換・線型演算子 [#q7f74d1f] #multicolumns ''[線型変換]'' あるベクトルを別のベクトルに変える変換 &math(F(\bm x)); が 任意の &math(\bm a,\bm b\in V); に対して &math(F(\alpha\bm a+\beta\bm b)=\alpha F(\bm a)+\beta F(\bm b)); を満たす時、これを線型変換という。 #multicolumns ''[線型演算子]'' ある関数を別の関数に変える演算子 &math(\hat F); が 任意の &math(f(x),g(x)\in U); に対して &math(\hat F(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha \hat Ff(x)+\beta \hat Fg(x)); を満たす時、これを線型演算子という。 例えば~ &math(\hat F f(x)= \frac{d}{dx}f(x)); や~ &math(\hat Ff(x)=(3x^2+1)f(x));~ &math(\hat Ff(x)=f(x+1));~ は線型変換である。 #multicolumns(end) #multicolumns ''[行列表現]'' 線型変換 &math(F(\bm x)); の行列表現 &math(A=(a_{ij})); は &math(a_{ij}=(\bm e_i,F(\bm e_j))); であり、このとき &math(F(\bm x)=A\bm x=\sum_{i=0}^n \bm e_i\sum_{j=0}^n a_{ij}\underbrace{(\bm e_j,\bm x)}_{x_j}); と表せる。 #multicolumns ''[行列表現]'' 任意の線型演算子 &math(\hat Ff(x)); に対してその行列要素は &math(F_{ij}=\int_a^bdx\,\psi_i^*(x)\hat F\psi_j(x)); と定義され、 &math(\hat Ff(x)=\sum_{i=0}^\infty \psi_i^*(x)\sum_{j=0}^\infty F_{ij}\underbrace{\int_a^bdx\,\psi_j^*(x)f(x)}_{f_j}); #multicolumns(end) * エルミート変換 [#occc27d8] #multicolumns ''[エルミート共役]'' 任意の &math(\bm a,\bm b\in V); に対して &math((\bm a,A\bm b)=(A^\dagger\bm a,\bm b)); となるような &math(A^\dagger); を &math(A); のエルミート共役と呼ぶ。 標準内積では &math(A^\dagger=(A^T)^*); として求められる。 #multicolumns ''[エルミート共役]'' 任意の &math(f(x),g(x)\in U); に対して &math(\int_a^bdx\,f^*(x)\hat Ag(x)=\int_a^bdx\,\big(\hat A^\dagger f(x)\big)^*g(x)); となるとき、&math(\hat A^\dagger); を &math(\hat A); のエルミート共役と呼ぶ。 #multicolumns(end) #multicolumns ''[エルミート行列]'' &math(A^\dagger=A); のとき &math(A); をエルミート行列と呼ぶ。 このとき &math((\bm a,A\bm b)=(A\bm a,\bm b)); が成り立つ。 #multicolumns ''[エルミート演算子]'' &math(\hat A^\dagger=\hat A); のとき &math(\hat A); をエルミート演算子と呼ぶ。 このとき &math(\int_a^bdx\,f^*(x)\hat Ag(x)=\int_a^bdx\,\big(\hat Af(x)\big)^*g(x)); が成り立つ。 #multicolumns(end) ** 演習 [#qf83b503] ここでは任意の &math(f(x)\in U); が境界条件 &math(f(a)=f(b)=0); を満たすような関数空間 &math(U); を考える。 &math(a=\infty,b=-\infty); と取れば、現実的な問題では常にこの境界条件は満たされる。 (1) 演算子 &math(\hat x:f(x)\mapsto xf(x)); のエルミート共役が &math(\hat x); 自身になること、 すなわち &math(\hat x); がエルミート演算子であることを示せ。 (座標 &math(x); は実数であることに注意せよ) (2) &math(U); において、演算子 &math(\frac{d}{dx}); のエルミート共役が &math(-\frac{d}{dx}); となることを上記の境界条件を用いて示せ。部分積分を使うと良い。 (3) &math(U); において、演算子 &math(\hat p:f(x)\mapsto \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}); のエルミート共役が &math(\hat p); 自身になること、すなわち &math(\hat p); がエルミート演算子であることを示せ。 (4) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の和 &math(\hat A+\hat B:f(x)\mapsto \hat Af(x)+\hat Bf(x)); がエルミート演算子となることを示せ。 (5) エルミート演算子 &math(\hat A,\hat B); の積 &math(\hat A\hat B:f(x)\mapsto \hat A\big(\hat Bf(x)\big)); がエルミート演算子となることを示せ。 このように、境界でゼロとなる空間において、 &math(\hat x,\hat p); の和や積で表せる任意の演算子がエルミートになることが分かった。 一般に、任意の物理量は &math(x,p); の関数として表わすことができるが、 テイラー展開などにより &math(x,p); の和や積で表わすことが可能である。 したがって、任意の物理量に対応する演算子はエルミートになる。 当然、ハミルトニアン &math(\hat H); もエルミートである。 * ユニタリー変換 [#l5f20be7] #multicolumns ''[ユニタリー行列]'' 任意の &math(\bm a,\bm b\in V); に対して &math((U\bm a,U\bm b)=(\bm a,\bm b)); となる &math(U); をユニタリー行列と呼ぶ。 当然、&math(|U\bm a|=|\bm a|); も成り立つ。 またこのとき &math(U^\dagger U=UU^\dagger=E); すなわち &math(U^\dagger=U^{-1}); である。 #multicolumns ''[ユニタリー演算子]'' 任意の &math(f(x),g(x)\in U); に対して &math(\int_a^bdx\,\big(\hat Uf(x)\big)^*\hat Ug(x)=\int_a^bdx\,f^*(x)g(x)); となる &math(\hat U); をユニタリー演算子と呼ぶ。 当然、&math(|Uf(x)|=|f(x)|); も成り立つ。 またこのとき &math(\hat U^\dagger \hat U=\hat U\hat U^\dagger=\hat 1); すなわち &math(\hat U^\dagger=\hat U^{-1}); である。 ここで &math(\hat 1:f(x)\mapsto f(x)); は恒等変換を表わす。 #multicolumns(end) * 固有値問題 [#m2006e96] ** 固有値、固有ベクトル・固有関数 [#f82e64ef] *** 固有値が連続な場合もありうる [#l67d8f01] ** 対角化可能性 [#me56c699] *** 相似変換 [#e5c2b3bf] *** 固有関数の直交性 [#te68020b] *** 正規行列・正規演算子 [#c888ca5b] ** エルミート行列の固有値は実数 [#fb478b4f] ** ユニタリー行列の固有値は絶対値が1 [#cc0ed7b6] * デターミナント・トレース・固有値 [#sb743be3] ** 定義・性質 [#vec8e625] ** 固有値との関係 [#p1b01fdf] ** 相似変換で保存 [#u27da019] ** デターミナントとノルム [#k8326c7d] * 行列の関数 [#l13bb77c] ** $H$ がエルミートなら $e^{iH}$ はユニタリー [#a5808b18] &math(H); の固有値を &math(\lambda_1,\lambda_2,\dots); とすれば、 &math(U=e^{iH}); の固有値は &math(e^{i\lambda_1},e^{i\lambda_2},\dots); であり、 すべて絶対値が1となるからこれはユニタリーである。 * 質問・コメント [#xe022926] #article_kcaptcha
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