量子力学Ⅰ/群速度と波束の崩壊 のバックアップ(No.2)
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ある位置に局在する、有限の運動量を持つ波束 †
運動量
を持つ古典的な粒子が
に存在する状況は、
点
の付近に局在する波数
を持つ波動関数で表わされる。
このような局在した波動関数を「波束」と呼ぶ。
以下、簡単のため と置き、上記のような波束を作ってみる。
となる波動関数は
&math( \varphi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ik_0x} );
であった。これは空間的に無限に広がっているので、 「波束」にするため を中心としたガウス関数を掛けてみる。
&math( \varphi(x) &=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}}e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2}\,e^{ik_0x}\\ );
このとき、
&math( |\varphi(x)|^2=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}e^{-x^2/2\sigma_{x0}^2} );
であるから、 空間分布は を中心とした標準偏差 の正規化されたガウス関数になっている。
これで、 の波動関数ができた?!
当然(?)、そうはうまく行かない。上記の関数をフーリエ変換すると、
&math( \varphi(k)&=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ikx}\varphi(x)dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2}e^{-i(k-k_0)x}dx\\ &=\sqrt{\frac{2\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}\underbrace{\int_{-\infty}^\infty e^{-\{x/2\sigma_{x0}+i\sigma_{x0}(k-k_0)\}^2}\frac{dx}{2\sigma_{x0}}}_{\sqrt \pi}e^{-\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2}\\ &=\sqrt{\frac{2\sigma_{x0}}{\sqrt{2\pi}}}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/4} );
より、
&math( |\varphi(k)|^2&=\frac{2\sigma_{x0}}{\sqrt{2\pi}}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/2} );
となって、 の分布は を中心に、 のガウシアンとなることが分かる。
&math( \sigma_{x0}\cdot\sigma_{p0}=\sigma_{x0}\hbar\sigma_{k0}=\hbar/2 );
であるから、上記の関数に対する は不確定性原理で与えられる最小値となる。すなわち、この関数は「最小波束」を与えることが分かる。
自由な粒子の分散関係 †
自由な粒子では、
より、
がその分散関係を与えるのであった。
したがって、波数 の成分の位相は で回転する。
すなわち、上記最小波束の時間発展は、
&math( \psi(x,0)&=\varphi(x)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(k)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}dk\\ );
に対して、
&math( \psi(x,t)&=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(k)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}e^{-i\omega_kt}dk\\ &=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/4+ikx-i\hbar k^2t/2m}dk\\ );
指数部を整理すると、
&math( &-\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2+ikx-i\hbar k^2t/2m\\ &=-\sigma_{x0}^2(1+i\underbrace{\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}_{\xi t})k^2+\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}k-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ &=-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2+ \frac{\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}^2}{4(1+i\xi t)}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ );
2項目以降は、
&math( &\frac{\sigma_{x0}^2\{ix/2\sigma_{x0}^2+k_0\}^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ &=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x+\sigma_{x0}^2k_0^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ &=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x-i\overbrace{\sigma_{x0}^2k_0^2\xi}^{\omega_{k0}} t}{1+i\xi t}\\ &=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\\ );
であるから、
&math( \psi(x,t)&=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}} \frac{\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]}{\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}} \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2}\left(\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}\ dk\right)}_{\sqrt{\pi}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}(1+i\xi t)}}\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\ );
ただし、 、
このとき、
&math( |\psi(x,t)|^2&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{(1-i\xi t)(1+i\xi t)}} \exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2-i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1-i\xi t}\right] \exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\omega_{k0}t)\xi t}{1+\xi^2t^2}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\hbar k_0^2 t/2m)\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}{1+\xi^2t^2}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-x^2+(2x-\hbar k_0 t/m)\hbar k_0 t/m}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-\{x-(\hbar k_0/m) t\}^2}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\ );
であり、これは
を中心とする、標準偏差
のガウス関数になっている。
すなわちこの関数は群速度 で進みながら、 徐々に幅が広がり、高さがつぶれていく。
幅の広がる速さは が小さいほど速い。
なぜなら、 からも分かるとおり、 が小さい波束ほど、 様々な速度の波数成分を重ね合わせて作られており、 時間が経つにつれて各成分の位相がより速やかにずれていき、 波形が崩れていくためである。