量子力学Ⅰ/群速度と波束の崩壊 のバックアップソース(No.2)

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[[量子力学Ⅰ]]



* ある位置に局在する、有限の運動量を持つ波束 [#b0c6b8f8]

運動量 &math(p=p_0); を持つ古典的な粒子が &math(x=x_0); に存在する状況は、~
点 &math(x=x_0); の付近に局在する波数 &math(k_0=p_0/\hbar); 
を持つ波動関数で表わされる。

このような局在した波動関数を「波束」と呼ぶ。

以下、簡単のため &math(x_0=0); と置き、上記のような波束を作ってみる。

&math(p=\hbar k_0); となる波動関数は

 &math(
\varphi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ik_0x}
);

であった。これは空間的に無限に広がっているので、
「波束」にするため &math(x=0); を中心としたガウス関数を掛けてみる。

 &math(
\varphi(x)
&=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}}e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2}\,e^{ik_0x}\\
);

このとき、

 &math(
|\varphi(x)|^2=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}e^{-x^2/2\sigma_{x0}^2}
);

であるから、
空間分布は &math(x=0); を中心とした標準偏差 &math(\sigma_{x0}); の正規化されたガウス関数になっている。

これで、&math(\langle x\rangle=x_0,\ \sigma_x=\sigma_{x0},\ \langle p\rangle=\hbar k_0,\ \sigma_p=0); の波動関数ができた?!

当然(?)、そうはうまく行かない。上記の関数をフーリエ変換すると、

 &math(
\varphi(k)&=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ikx}\varphi(x)dx\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2}e^{-i(k-k_0)x}dx\\
&=\sqrt{\frac{2\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}\underbrace{\int_{-\infty}^\infty e^{-\{x/2\sigma_{x0}+i\sigma_{x0}(k-k_0)\}^2}\frac{dx}{2\sigma_{x0}}}_{\sqrt \pi}e^{-\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2}\\
&=\sqrt{\frac{2\sigma_{x0}}{\sqrt{2\pi}}}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/4}
);

より、

 &math(
|\varphi(k)|^2&=\frac{2\sigma_{x0}}{\sqrt{2\pi}}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/2}
);

となって、&math(k); の分布は &math(p=\hbar k_0); を中心に、&math(\sigma_{k0}=1/2\sigma_{x0}); 
のガウシアンとなることが分かる。

 &math(
\sigma_{x0}\cdot\sigma_{p0}=\sigma_{x0}\hbar\sigma_{k0}=\hbar/2
);

であるから、上記の関数に対する &math(\sigma_{x}\cdot\sigma_{p}); は不確定性原理で与えられる最小値となる。すなわち、この関数は「最小波束」を与えることが分かる。

* 自由な粒子の分散関係 [#nbb01d97]

自由な粒子では、

 &math(\varepsilon=\frac{p^2}{2m});

より、

 &math(\hbar\omega_k=\frac{\hbar^2 k^2}{2m});

がその分散関係を与えるのであった。

したがって、波数 &math(k); の成分の位相は &math(e^{-i\omega_kt}=e^{-\hbar k^2t/2m}); で回転する。

すなわち、上記最小波束の時間発展は、

 &math(
\psi(x,0)&=\varphi(x)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(k)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}dk\\
);

に対して、

 &math(
\psi(x,t)&=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(k)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}e^{-i\omega_kt}dk\\
&=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/4+ikx-i\hbar k^2t/2m}dk\\
);

指数部を整理すると、

 &math(
&-\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2+ikx-i\hbar k^2t/2m\\
&=-\sigma_{x0}^2(1+i\underbrace{\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}_{\xi t})k^2+\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}k-\sigma_{x0}^2k_0^2\\
&=-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2+
\frac{\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}^2}{4(1+i\xi t)}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\
);

2項目以降は、

 &math(
&\frac{\sigma_{x0}^2\{ix/2\sigma_{x0}^2+k_0\}^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\
&=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x+\sigma_{x0}^2k_0^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\
&=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x-i\overbrace{\sigma_{x0}^2k_0^2\xi}^{\omega_{k0}} t}{1+i\xi t}\\
&=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\\
);

であるから、

 &math(
\psi(x,t)&=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}
\frac{\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]}{\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}}
\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2}\left(\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}\ dk\right)}_{\sqrt{\pi}}\\
&=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}(1+i\xi t)}}\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\
);

ただし、&math(\xi=\frac{\hbar}{2m\sigma_{x0}^2});、&math(\omega_0=\frac{\hbar k_0^2}{2m});

このとき、

 &math(
|\psi(x,t)|^2&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{(1-i\xi t)(1+i\xi t)}}
\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2-i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1-i\xi t}\right]
\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}}
\exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\omega_{k0}t)\xi t}{1+\xi^2t^2}\right]\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}}
\exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\hbar k_0^2 t/2m)\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}{1+\xi^2t^2}\right]\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}}
\exp\left[\frac{-x^2+(2x-\hbar k_0 t/m)\hbar k_0 t/m}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}}
\exp\left[\frac{-\{x-(\hbar k_0/m) t\}^2}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\
);

であり、これは 

 &math(x=x_0-(\hbar k_0/m) t);

を中心とする、標準偏差

 &math(\sigma_x=\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}=\sigma_{x0}\sqrt{1+\left(\frac{\hbar}{2m\sigma_{x0}^2}\right)t^2}); 

のガウス関数になっている。

すなわちこの関数は群速度 &math(v_G=\hbar k_0/m=p_0/m); で進みながら、
徐々に幅が広がり、高さがつぶれていく。

幅の広がる速さは &math(\sigma_{x0}); が小さいほど速い。

なぜなら、
&math(\sigma_{k0}=1/2\sigma_{x0}); からも分かるとおり、
&math(\sigma_{x0}); が小さい波束ほど、
様々な速度の波数成分を重ね合わせて作られており、
時間が経つにつれて各成分の位相がより速やかにずれていき、
波形が崩れていくためである。

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