電子の波動方程式/メモ のバックアップ差分(No.1)
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[[量子力学Ⅰ/電子の波動方程式]] * 解答:波動方程式(電磁波の場合) [#a06edf32] (1) &math( \frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD t}\Big[\omega\bm E_0\sin(\bm k\cdot\bm r-\omega t)\Big]\\ &=-\omega^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) ); (2) &math( \frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E_0\cos(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD x}\Big[-k_x\bm E_0\sin(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\ &=-k_x^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) ); 同様に、&math( \frac{\PD^2}{\PD y^2}\bm E(\bm r,t)=-k_y^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) );、 &math( \frac{\PD^2}{\PD z^2}\bm E(\bm r,t)=-k_z^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) ); だから、 &math( \nabla^2\bm E(\bm r,t) &=\Big(\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD x^2}\Big)\bm E(\bm r,t) &=\big(-k_x^2-k_y^2-k_z^2\big)\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) &=-|\bm k|^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) ); (3) (1), (2) より与式を書き換えると、 &math(-k^2\bm E(\bm r,t)=-\frac{\omega^2}{c^2}\bm E(\bm r,t)); したがって、&math(\bm E_0\ne 0); であるかぎり、 &math(k^2=\omega^2/c^2); あるいは、 &math(ck=\pm\omega); (4) &math(\lambda=cT); より、 &math(\frac{1}{T}=\frac{c}{\lambda}); &math(\frac{2\pi}{T}=c\frac{2\pi}{\lambda}); &math(\omega=ck); (5) &math(\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E_0f(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD t}\Big[-\omega\bm E_0f'(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\ &=\omega^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t) ); また、 &math(\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E_0f(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD x}\Big[k_x\bm E_0f'(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\ &=k_x^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t) ); より、波動方程式は &math(k^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t)=\frac{\omega^2}{c^2}\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t)); と書き換えられて、(3), (4) と同様に &math(ck=\pm\omega); である限り、波動方程式を満たすことが確かめられる。
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