量子力学Ⅰ/３次元調和振動子 のバックアップ(No.5)

$x,y,z$ 座標形で求めた解と球座標解との対応 †

３次元調和振動子を 座標で説いた結果得られた解をエネルギーの低いものから並べれば、

などとなる。

一方、同じ系を球座標で解けばその角度依存性は先に見たとおり球面調和関数で表され、

のように、 の解は縮退がなく、 の解は３重に、 は５重に縮退する。 水素原子のところでも見たとおり、ポテンシャルの形状によっては に対する縮退以外にも、異なる を持つ状態が縮退することがある。

したがって、

• 縮退のない は の s 状態
• ３重に縮退した は の p 状態、あるいは３つの s 状態が縮退した状態（今の場合前者が正解）
• ６重に縮退した は s 状態と d 状態が１つずつ、あるいは p 状態が２つ、縮退した状態（今の場合前者が正解）
• １０重に縮退した は p 状態と f 状態の縮退した状態、あるいは・・・

にそれぞれ対応していることが期待され、以下に見るように確かにそのようになっている。

$n=0$ の解 †

　&math( \varphi_{000}(\bm r) &=\left(\frac{4\pi m\omega}{\hbar}\right)^{3/4}\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}r^2\right)\\ &\propto e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}}\\ );

は に依存していない。ここで、 と置いた。

球面調和関数 も に依存していないので、

　&math( \varphi_{000}(\bm r) &\propto e^{-\frac{r^2}{r_0^2}}\,Y_0{}^0\\ );

と書ける。

すなわち の解は s 状態であり、 であることが分かる。

$n=1$ の解 †

　

　

　

ここで、

　&math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} );

であるから、

　

　

　

これらはすべて つまり p 状態であることが分かる。

ここから が の に対する固有関数であることが分かる。

に対してはそのままでは の固有関数ではないが、

　

　

とすることにより のそれぞれ の固有関数となることが分かる。

$n=2$ および $n=3$ の解 †

同様な対応により、

• ６重に縮退した は s 状態と d 状態が１つずつ縮退した状態

• １０重に縮退した は p 状態と f 状態の縮退した状態

になっていることを確かめられる。

の解は、

　 　と、 　

の線形結合で、

の解は、

　 　と、 　

の線形結合で、それぞれ表せる。詳しい計算はこちら

演習：３次元調和振動子の動径方向の方程式 †

上で出てきた動径方向の関数が、対応する の値に対して３次元調和振動子の方程式の解になっていることと、 その固有値が与えられた から予想されるエネルギー値に等しいことを確かめたい。

(1) ３次元調和振動子に対する動径方向の方程式は、 と書き換え、 と置けば、

&math(

• \frac{X''(\xi)}{X(\xi)}+\xi^2+\frac{l(l+1)}{\xi^2}=\frac{2\varepsilon}{\hbar\omega}\\ );

となることを示せ。

(2) となることを確かめよ。

(3) が に対する固有関数となることを示せ。

(4) が に対する固有関数となることを示せ。

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