線形代数II/まとめ の変更点

更新


[[線形代数II]]

#contents
#mathjax

* 線形代数とは [#efa9142c]

ベクトル空間が持つ代数的構造を学ぶ学問

* 抽象線形空間 [#ef4f66c6]

** ベクトル空間とは [#ne79752f]

適切に定義された「ベクトルの和」と「スカラー倍」に対して「閉じた」集合

** 部分空間とは [#jc55bc68]

あるベクトル空間 &math(V); の部分集合 &math(W); が、
「ベクトルの和」と「スカラー倍」に対して閉じていれば、
その集合 &math(W); もベクトル空間となる。
&math(W); を &math(V); の部分空間という。

** $n$ 次以下の $x$ の多項式 [#vd2de07f]

&math(n); 次以下の &math(x); の多項式の集合 &math(P^n[x]); 
は自然に定義される和と定数倍に対してベクトル空間となる

** 一次独立・従属 [#r07dc67d]

&math(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n);が一次独立 &math(\leftrightarrow\ \Big(\sum_{i=1}^n c_i\bm x_i=\bm 0\ \to\ c_1=c_2=\dots=c_n=0\Big)); 

いくつかのベクトルの一次結合がゼロであるという式から、その係数がすべてゼロであることを導けるとき、これらのベクトルは一次独立であるという。

逆に、1つでもゼロでない係数に対して一次結合がゼロになるなら一次従属である、という。

** 張る空間 [#u57cbbeb]

ベクトル &math(\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n); が張る空間とは、
それらの一次結合で表せるベクトルからなる集合のこと。ベクトル空間となる。

&math([\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n]=\set{\bm x|\bm x=\sum_{i=1}^n c_i\bm x_i});

** 張る空間の形 [#p044d497]

- 1つのベクトルが張る空間は通常直線的(1次元的)
- 2つのベクトルが張る空間は通常平面的(2次元的)
- 3つのベクトルが張る空間は通常空間的(3次元的)

ただし、それらが一次従属だとそうとも言えない

** 基底・次元 [#mdf69272]

あるベクトルの組 &math(X=\set{\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n}); が あるベクトル空間 &math(V); を張り
(&math(V=[\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n]);)、なおかつ一次独立であるとき、
&math(X); を &math(V); の基底と呼ぶ。

基底を構成するベクトルの数 &math(n); を &math(V); の次元と呼ぶ(&math(\dim V=n);)。

** 数ベクトル表現 [#w11c6ad1]

&math(\bm x=x_1\bm b_1+x_2\bm b_2+\dots+x_n\bm b_n=\big(\bm b_1\ \bm b_2\ \cdots\ \bm b_n\big)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}); の時の 
&math(\bm x_B=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}); のこと。

数ベクトル表現はベクトル和やスカラー倍に対して保存するため(&math(\bm x+\bm y=\bm z); のとき &math(\bm x_B+\bm y_B=\bm z_B);、&math(k\bm x=\bm y); のとき &math(k\bm x_B=\bm y_B);)、
任意の &math(n); 次元ベクトル空間は &math(n); 次元数ベクトル空間と強い類似性を持つ。

* 写像 [#p4a8c163]

&math(f:U\to U'); は、集合 &math(U); の要素1つ1つに &math(U'); の元を1つずつ対応させる写像。
&math(\bm x\in U); に対して &math(f(\bm x)\in U');。

&math(f:\bm x\mapsto f(\bm x)); の形にも書く。&math(\to); と &math(\mapsto); を使い分けることに注意。

** 線形写像 [#k3ad95a8]

任意の &math(\bm x, \bm y, a, b); について &math(f(a\bm x+b\bm y)=af(\bm x)+bf(\bm y)); が成り立つとき、写像 &math(f); は線形であるという。

&math(n); 次以下の &math(x); の多項式からなる集合では
微分演算 &math(f:\bm x\mapsto\frac{d}{dx}\bm x); や積分演算 &math(f:\bm x\mapsto\int_0^x\bm x dx);、変数変換 &math(T:f(x)\mapsto f(x+c)); は線形変換となる。

** 像 $\Image T$ [#decac326]

写像 &math(T:V\to V'); の「値域」にあたる集合を &math(T); の像と呼び、&math(\Image T); あるいは &math(T(V)); と書く。

&ref(線形代数II/線形写像・像・核・階数/image.png,33%);

** 階数 [#i2d154c1]

線形写像の像は線形空間となる。
その像の次元を写像 &math(T); の階数 (rank) と呼ぶ。

&math(\rank T=\dim\big(\Image T\big));

&math(T:V\to V'); のとき、&math(\rank T<\dim V); かつ &math(\rank T<\dim V'); である。

** 全射(上への写像) [#j596d5f7]

写像 &math(T:V\to V'); が &math(\Image T=V'); を満たすことをいう。
つまり、&math(V'); のすべての元について、そのベクトルへ移ってくる &math(V); の元が1つ以上あるということ。

&ref(線形代数II/線形写像・像・核・階数/上への写像.png,33%);

** 単射(1対1写像) [#t1906c0f]

写像 &math(T); について、&math(\bm x\ne \bm y); であれば &math(T(\bm x)\ne T(\bm y)); であることをいう。異なるベクトルが移った先で重ならないような写像のこと。

&ref(線形代数II/線形写像・像・核・階数/写像.png,33%);

** 全単射(上への1対1写像) [#v8c6a544]

写像が単射かつ全射であること。

** 逆写像 [#db1366f3]

全単射の時に限って、&math(T:V\to V'); に対して、逆写像 &math(T^{-1}:V'\to V); を定義できる。

&math(T^{-1}:T(\bm x)\mapsto \bm x);

** 同型 [#oc384a8b]

2つの線形空間 &math(V); と &math(V'); の間に線形な全単射 &math(T:V\to V'); を定義できるとき、
&math(V); と &math(V'); は同型であるといい、&math(V\simeq V'); と書く。

数ベクトル表現への写像は同型写像であるから、
任意の &math(n); 次元空間は &math(n); 次元数ベクトル空間と同型である。

** 核 $\Kernel T$ [#d6a881a8]

線形写像 &math(T:V\to V'); の核 (Kernel) は &math(T); によりゼロに移るベクトルの集合。

&math(\Kernel T\equiv\set{\bm x\in V|T\bm x=\bm 0});

核は線形空間となる。

&math(\Kernel T=\set{\bm 0}); は &math(T); が単射であるための必要十分条件となる。 

** 次元定理 [#pcd7ea8a]

線形写像についてまとめると:

&ref(線形代数II/線形写像・像・核・階数/次元定理.png,,33%);

-&math(\Kernel T); は &math(V); の、&math(\Image T); は &math(V'); の、部分空間である
-&math(\Kernel T); に含まれる元は &math(\bm 0); に移る
-&math(V-\Kernel T); に含まれる元は &math(\Image T-\set{\bm 0}); に移る

線形写像の次元定理:&math(\dim V-\dim(\Kernel T)=\dim(\Image T));

* 基底の変換 [#k9d72a03]

** 基底の変換行列 [#ee76fea4]

&ref(線形代数II/基底の変換/基底の変換.png,,33%);

&math(B); から &math(A); への基底の変換行列 &math(P_{ B\to  A}); は、
基底 &math(B); に右から掛けることで基底 &math(A); に変換する。

&math(\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to  A});

&math(A); に対する表現に
基底 &math(B); から基底 &math(A); への基底の変換行列 &math(P_{ B\to  A}); 
を左から掛けると &math(B); に対する表現が得られる。

&math(\bm x_B=P_{ B\to  A} \bm x_A);

両方合わせると、

&math(
\bm x&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{ A}\\
&=\lefteqn{\overbrace{\phantom{\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to  A}}}}\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\underbrace{P_{ B\to  A}\bm x_{ A}}\\
&=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{ B}
);

** 線形写像の行列表現 [#b1c96901]

&ref(線形代数II/線形写像の行列表現と階数/写像の表現行列.png,,33%);

&math(\bm y=T\bm x); の時 &math(\bm y_B=T_{BA}\bm x_A); が成り立つような &math(T_{BA}); が行列表現。

具体的な形は、
&math((\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n)T_{BA}&=T(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n));
により求められる。

&math(
\bm y&=T\bm x\\
(\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n)\bm y_B&=T\Big((\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n)\bm x_A\Big)\\
(\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n)T_{BA}\bm x_A&=(T\bm a_1\ T\bm a_2\ \dots\ T\bm a_n)\bm x_A\\
(\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n)T_{BA}&=T(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n)
);

** 線形写像の基底変換 [#ybff9bfc]

&math(\bm y_B=T_{BA}\bm x_A); に、
&math(\bm x_A=P_{A\to A'}\bm x_{A'});、
&math(\bm y_B=P_{B\to B'}\bm y_{B'}); を適用すれば、

&math(P_{B\to B'}\bm y_{B'}=T_{BA}P_{A\to A'}\bm x_{A'});

より、&math(T_{B'A'}=(P_{B\to B'})^{-1}T_{BA}(P_{A\to A'}));

** 線形写像の階数 [#s14c7de2]

表現行列の階数と等しい

** 線形変換の基底変換 [#x5be6c89]

&math(B=A); の時、&math(T_{AA}=T_A); と書いて、

&math(T_{A'}=(P_{A\to A'})^{-1}T_A(P_{A\to A'}));

相似変換となる。

** 線形変換のトレース、行列式、固有値 [#i0bfddac]

表現行列のトレース、行列式、固有値は基底の取り方に依らず定まるため、~
線形変換のトレース、行列式、固有値を定義可能

* 内積と計量空間 [#n7df4c0a]

線形空間に内積 &math((\bm x,\bm y)); を定義すると、ベクトルのノルム &math(\|\bm x\|);、
2つのベクトルの間の角度 &math((\bm x,\bm y)=\|\bm x\|\|\bm y\|\cos\theta);、
直交 &math(\bm x\perp\bm y\leftrightarrow(\bm x,\bm y)); が定義される。

内積を持つ線形空間を計量空間と呼ぶ。

** 複素内積 [#q28eacd5]

&math((\bm x,c\bm y)=c(\bm x,\bm y)); であるが、~
&math((c\bm x,\bm y)=\overline{c}(\bm x,\bm y)); 

また、
&math((\bm y,\bm x)=\overline{(\bm x,\bm y)});

に注意せよ。

** 正規直交系 [#p619f87f]

- 正規性: &math((\bm e_i,\bm e_i)=1); つまり &math(\|\bm e_i\|=1);
- 直交性: &math((\bm e_i,\bm e_j)=0); つまり &math(\bm e_i\perp\bm e_j); (&math(i\ne j);)

合わせて、&math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij});

** クロネッカーのデルタ [#y88366f7]

&math(\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & (i=j)\\
0 & (i\ne j)
\end{array}\right .);

重要な性質: &math(\sum_i f(i)\delta_{ij}=f(j)); 

比較せよ: &math(\int dx f(x)\delta(x-a)=f(a));

** 成分の取り出し [#nb3db788]

&math(\set{\bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_n}); が正規直交基底のとき、
&math(\bm x=x_1\bm e_1+x_2\bm e_2+\dots+x_n\bm e_n); に対して、

&math((\bm e_i,\bm x)=x_i); 一方、&math((\bm x,\bm e_i)=\bar x_i); であるから注意

** 複素数ベクトルの標準内積 [#ued2f839]

&math((\bm x,\bm y)=\bar x_1y_1+\bar x_2y_2+\dots+\bar x_ny_n={}^t\bar{\bm x} \bm y=\bm x^\dagger \bm y); 左側のベクトルの複素共役を取る

** エルミート共役 [#h4fdcaf8]

&math(A^\dagger={}^t\!\bar A);、&math(\bm x^\dagger={}^t\!\bar {\bm x});

- &math((AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger); 順番が入れ替わる
- &math((\bm x,\bm y)=\bm x^\dagger \bm y);
- &math((\bm x,A\bm y)=(A^\dagger\bm x,\bm y)); 

** エルミート行列・ユニタリ行列 [#m3547e8b]

&math(A); が実行列のとき &math(A^\dagger=^t\!\!A); である。

|実行列では      |複素行列では              |
|対称行列 &math(^t\!S=S);      |エルミート行列 &math(H^\dagger=H); |
|直交行列 &math(^t\!R=R^{-1}); |ユニタリ行列 &math(U^\dagger=U^{-1}); |

性質:
- 対称行列 &math(S); について &math((\bm x,S\bm y)=(S\bm x,\bm y)); (実内積)
- エルミート行列 &math(H); について &math((\bm x,H\bm y)=(H\bm x,\bm y)); (複素内積)

性質:
- 直交行列 &math(R); により内積が保存される &math((R\bm x,R\bm y)=(\bm x,\bm y)); (実内積)
- ユニタリ行列 &math(U); により複素内積が保存される &math((U\bm x,U\bm y)=(\bm x,\bm y)); (複素内積)

** 正規行列 [#d5daabc5]

&math(A^\dagger A=AA^\dagger); を満たす行列を正規行列と呼ぶ。
エルミート行列、ユニタリ行列は正規行列であるが、他にもたくさんある。

「ユニタリ行列により対角化できること」と「正規行列であること」とは同値である。

* 関数空間 [#n0c0a6c6]

数ベクトル &math(\bm a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}); は、見方を変えると整数値 &math(k=1\sim n); から &math(a_k); への関数である

添字 &math(k); に対して &math(a_k); をプロットすれば、
「ベクトルのグラフ」を表示できる。

&attachref(線形代数II/関数空間/vector1.png,,25%);

区間 &math([a,b]); で定義された関数 &math(f); は、実数値 &math(x=a\sim b); から &math(f(x)); への関数で、通常の和と定数倍に対してベクトル空間を為す

&attachref(線形代数II/関数空間/function.png,,25%);

** 内積 [#haf65d40]

数ベクトルでは成分毎に掛けて和を取ったが、関数空間では積分になる

標準内積:&math((f,g)=\int_a^bdx \overline{f(x)}g(x));

重み付き内積:&math((f,g)=\int_a^bdx \rho(x)\overline{f(x)}g(x)); ただし、&math(\rho(x)>0);

内積によりノルム、角度、直交も定義される

** 完全性 [#q65e7275]

関数系 &math(\set{\phi_1,\phi_2,\dots}); が任意の &math(f\in U); を &math(f(x)=\sum_{1}^\infty f_i\phi_i(x)); として表せる時、&math(U); において完全であると言う。
通常のベクトル空間における「張る」という概念に相当する。

ある関数系を、与えられた関数系の和で表わすことを、「展開する」ということがある。
テーラー展開、マクローリン展開、ローラン展開、フーリエ級数展開・・・

** 正規直交系と成分 [#g3cb38eb]

関数系 &math(\set{\phi_1,\phi_2,\dots}); が正規直交であれば、上記のように展開した際の係数を、

&math(f_i=(\phi_i,f)=\int_a^bdx \rho(x)\overline{\phi_i(x)}f(x));

として求められる。完全形では

&math(
f(x)&=\sum_{i=1}^\infty (\phi_i,f)\phi_i(x)\\
&=\sum_{i=1}^\infty \int_a^bdx \rho(x)\overline{\phi_i(x)}f(x)\phi_i(x)\\
&=\int_a^bdx' \Big[\sum_{i=1}^\infty \rho(x')\overline{\phi_i(x')}\phi_i(x)\Big]f(x')\\
);

より、&math(\sum_{i=1}^\infty \rho(x')\overline{\phi_i(x')}\phi_i(x)=\delta(x)); となる。

** パーセバルの等式・ベッセルの不等式 [#p96f91af]

正規直交関数系 &math(\set{\phi_1,\phi_2,\dots}); が完全であるとき、

&math(\|f\|^2=\sum_{i=1}^\infty f_i^2);

が成り立つ。完全でない時も含めると、一般に

&math(\|f\|^2\geqq\sum_{i=1}^\infty f_i^2);

** ルジャンドル(Legendre)多項式 [#iabb6bd7]

内積の積分範囲を &math([-1,1]); に、また、重み関数 &math(\rho(x)=1); において
&math(\set{1,x,x^2,x^3,\dots}); をシュミットの直交化法を用いて直交化して得られる関数系。
(厳密には係数分だけ異なる)

&math(\bm e_n=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n}_{\displaystyle P_n(x)});

具体的な形は、~
&math(\Big\{1,x,\frac{1}{2}(3x^2-1),\frac{1}{2}(5x^3-3x),\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3),\dots\Big\});~

** 実フーリエ級数展開 [#p7365835]

区間 &math([-\pi,\pi]); を定義域とする実関数空間に、
重み関数 = 1 として内積を導入するとき、

&math(\Big\{
a_0(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \\
a_1(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos x, b_1(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin x, \\
a_2(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos 2x, b_2(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin 2x, \dots,\\
a_k(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos kx, b_k(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin kx,\dots\Big\}
);

** 複素フーリエ級数展開 [#r1ff546b]

区間 &math([-\pi,\pi]); を定義域とする複素関数空間に、
重み関数 = 1 として内積を導入するとき、

&math(\Big\{
\phi_0(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \\
\phi_1(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{ix}, \phi_{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-ix}, \\
\phi_2(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{2ix}, \phi_{-2}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-2ix}, \dots,\\
\phi_k(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{kix}, \phi_{-k}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-kix}, \dots\Big\}
);

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