球座標における微分演算子 の変更点

更新


* 直交座標との対応 [#gdbb5f24]

&math(
\begin{cases}
x=r\sin\theta\cos\phi\\
y=r\sin\theta\sin\phi\\
z=r\cos\theta
\end{cases}
);


* 微分の変換 [#xba4e8e0]

ある関数 &math(f(r,\theta,\phi)); について、
&math(x); が微小量 &math(dx); だけ変化すると、&math(f); が &math(df); だけ変化するとする。

一方、&math(x); が &math(dx); 変化すれば
&math(r,\theta,\phi); もそれぞれ &math(dr,d\theta,d\phi); だけ変化するとする。

このとき、

 &math(
df=\frac{\PD f}{\PD x}dx&=\frac{\PD f}{\PD r}dr+\frac{\PD f}{\PD \theta}d\theta+\frac{\PD f}{\PD \phi}d\phi\\
&=\frac{\PD f}{\PD r}\frac{\PD r}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \theta}\frac{\PD \theta}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \phi}\frac{\PD \phi}{\PD x}dx
);

したがって、

 &math(\frac{\PD f}{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD f}{\PD r}+
                            \frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD f}{\PD \theta}+
                            \frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD f}{\PD \phi});

同様にして、

 &math(
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]
\displaystyle\frac{\PD }{\PD y}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]
\displaystyle\frac{\PD }{\PD z}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\
\end{cases}
);

さらに計算を進めるには、&math(\frac{\PD r}{\PD x}); などを求める必要がある。

* 演習:偏微分の計算 [#t892cda9]

以下、全微分と異なり &math(\frac{\PD r}{\PD x}\ne\Big(\frac{\PD x}{\PD r}\Big)^{-1}); であることに注意せよ。

(1) &math(r^2=x^2+y^2+z^2); の関係を用いて、
&math(\frac{\PD r}{\PD x},\frac{\PD r}{\PD y},\frac{\PD r}{\PD z}); を
&math(r,\theta,\phi); で書き表せ。

(2) &math(\tan^2\theta=\frac{x^2+y^2}{z^2}); の関係を用いて、
&math(\frac{\PD \theta}{\PD x},\frac{\PD \theta}{\PD y},\frac{\PD \theta}{\PD z}); を
&math(r,\theta,\phi); で書き表せ。

(3) &math(\tan\phi=\frac{y}{x}); の関係を用いて、
&math(\frac{\PD \phi}{\PD x},\frac{\PD \phi}{\PD y},\frac{\PD \phi}{\PD z}); を
&math(r,\theta,\phi); で書き表せ。

~
[[● 解答はこちら>@量子力学Ⅰ/球座標における微分演算子/メモ#j884fda6]]

#hr

上記結果を代入すれば、

 &math(
\begin{cases}

\displaystyle\frac{\PD}{\PD x}=
\sin\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD r}
+\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
-\frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle\frac{\PD}{\PD y}=
\sin\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD r}
+\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
+\frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle \frac{\PD}{\PD z}=
\cos\theta \frac{\PD}{\PD r}
-\frac{1}{r}\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\\[4mm]

\end{cases}
);

* 球座標のラプラシアン [#w0c305d4]

 &math(\triangle=\nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD y^2}+\frac{\PD^2}{\PD z^2});

に上記を代入すれば求まる! ・・・ 実際やってみると非常に大変。→ [[計算の詳細>@量子力学Ⅰ/球座標における微分演算子/メモ#o621468a]]

結果だけまとめると、

 &math(
\nabla^2&=\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r} \frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\\
        &=\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda
);

ただし、

 &math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

* 球座標の角運動量演算子 [#a5b926d0]

原点中心の角運動量 &math(\bm l=\bm r\times\bm p); に相当する角運動量演算子は 
&math(\hat{\bm l}=\bm r\times\frac{\hbar}{i}\bm\nabla); となるのであった。

これを球座標表示にするのも、原理的には単に代入すればよい。が、やはり計算は大変 → [[詳細はこちら>@量子力学Ⅰ/球座標における微分演算子/メモ#nad66919]]

&math(
\begin{cases}
\displaystyle
\hat l_x=-i\hbar\Big(y\frac{\PD}{\PD z}-z\frac{\PD}{\PD y}\Big)
=i\hbar\Big(+\sin\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big)
\\[4mm]
\displaystyle
\hat l_y=-i\hbar\Big(z\frac{\PD}{\PD x}-x\frac{\PD}{\PD z}\Big)
=i\hbar\Big(-\cos\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big)
\\[4mm]
\displaystyle
\hat l_z=-i\hbar\Big(x\frac{\PD}{\PD y}-y\frac{\PD}{\PD x}\Big)
=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi}
\end{cases}
);

全角運動量は、

 &math(
\hat{\bm l}^2&=\hat l_x^2+\hat l_y^2+\hat l_z^2
=-\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\PD}{\PD\theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD\theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\PD^2}{\PD\phi^2}\Big]
=-\hbar^2\hat\Lambda
);

&math(z); 方向を除くと、

 &math(
\hat l_x^2+\hat l_y^2=&\hat{\bm l}^2-\hat l_z^2\\
\hat l_x^2+\hat l_y^2=&\,\hat{\bm l}^2-\hat l_z^2\\
=&-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right]+\hbar^2\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\\
=&-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\tan^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right]\\
);

このほかに、

 &math(\hat l_\pm=\hat l_x\pm i\hat l_y=\hbar e^{\pm i\phi}\Big(\pm\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{i}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big));

も有用な演算子となることを後に見る。

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