一次元の散乱現象/メモ
解答:ポテンシャルの異なる領域へ入射する平面波†
(1)
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V(x)\right]\varphi(x)=\varepsilon\varphi(x)$$
(2)
$x<0$ では $V(x)=0$ より、
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V(x)\right]e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}k^2e^{\pm ikx}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}\right)^2e^{\pm ikx}=\varepsilon e^{\pm ikx}$$
(3)
$0\le x$ では $V(x)=V_0$ より、
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V(x)\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}k'^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sqrt{\frac{2m(\varepsilon-V_0)}{\hbar^2}}\right)^2+V_0\right]e^{\pm ik'x}=\varepsilon e^{\pm ik'x}$$
(4)
$$\varphi_I(0)+\varphi_R(0)=\varphi_T(0)$$
$$\frac{d \varphi_I}{dx}(0)+\frac{d\varphi_R}{dx}(0)=\frac{d\varphi_T}{dx}(0)$$
(5)
$1+R=T$, $ik-ikR=ik'T$ より、
$$k(1-R)=k'(1+R)$$
$$R=\frac{k-k'}{k+k'}, T=\frac{2k}{k+k'}$$
(6)
$$ \begin{aligned} \text{(左辺)}&=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k'\frac{4k^2}{(k+k')^2}\\ &=k\frac{k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}+k\frac{4kk'}{(k+k')^2}\\ &=k\frac{k^2+2kk'+k'^2}{(k+k')^2}\\ &=k \end{aligned} $$
(7)
$k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}=(1/2)\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k/2$ より、 $R=1/3,T=4/3$
$$kR^2+k'T^2=\frac{1}{3^2}k+\frac{4^2}{3^2}\frac{k}{2}=\frac{1+8}{9}k=k$$
(8)
$V_0<0$ のとき、$k'=\sqrt{2m(\varepsilon-V_0)/\hbar^2}>\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}=k$ より、 $R=\frac{k-k'}{k+k'}<0$ であり、
$$\varphi_I(0)=1>0$$
に対して、
$$\varphi_R(0)=R<0$$
となり、両者の位相は $\pi$ 異なる。