線形代数II/基底の変換 のバックアップ(No.7)

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線形代数Ⅱ?

基底の変換

$\mathbb R^3$ の数ベクトル表現

次の3つのベクトルは \mathbb R^3 の基底を為す。

&math( \bm b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \bm b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} );

つまり、次の2つが成り立つ。

  1. \bm b_1,\bm b_2,\bm b_3 は線形独立である
  2. \bm b_1,\bm b_2,\bm b_3 \mathbb R^3 を張る

1. はほぼ自明

2. は、 \forall \bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3 を、

\bm x=\bm b_1 x' +\bm b_2 y'+\bm b_3 z'

として表せると言う意味。あるいはこれを満たす x',y',z' を見つけられるという意味。

&math( \bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =B\bm x');

と書き直すと、1. より B は正則行列であるから、どんな \bm x を与えられたとしても \bm x'=B^{-1}\bm x とすれば \bm x' を見つけられることが分かる。

すなわち、 \mathbb R^3 のベクトル \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} の、 基底 \bm b_1,\bm b_2,\bm b_3 に対する数ベクトル表現は、

\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

と書けることが分かる。

実は上記の議論は線形独立な任意の \bm b_1,\bm b_2,\bm b_3 にあてはまる。

基底の変換

\mathbb R^3 のベクトル \bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} という書き方は、

基本ベクトルを &math( \bm e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \bm e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \bm e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} ); として

&math(\bm x=x\bm e_1+y\bm e_2+z\bm e_3 =\begin{pmatrix}\bm e_1&\bm e_2&\bm e_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix});

であるから、「基本ベクトルを基底とした時の \bm x の数値表現である」と言える。

したがって、
基底 \set{\bm e_1,\bm e_2,\bm e_3}) に対する数値表現 &math(\bm x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} から、
基底 \set{\bm b_1,\bm b_2,\bm b_3}) に対する数値表現 &math(\bm x'=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} への変換が、
\bm x'=B\bm x と書けることになる。

このような変換を基底の変換、行列 B を基底の変換行列、と呼ぶ。

ここで、行列 B=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix} は、 ベクトル \bm b_1,\bm b_2,\bm b_3 の、 \bm e_1,\bm e_2,\bm e_3 に対する 数値表現を行列として並べた物となっている。

基底の変換行列

線形空間 V に2つの基底、 \mathcal A=\set{\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_n} および \mathcal B=\set{\bm b_1, \bm b_2, \dots, \bm b_n} があるとする。( n=\dim V )

\forall\bm x\in V
\mathcal A に対する数値表現 \bm x_{\mathcal A}
\mathcal B に対する数値表現 \bm x_{\mathcal B} との間には、

\bm x_{\mathcal B}=A_{\mathcal B}^{-1}\bm x_{\mathcal A}

の関係がある。ただし、

B_{\mathcal A} n\times n 行列で、
\ \mathcal B の基底ベクトルそれぞれに対して基底 \mathcal A での数値表現を作り、 それらを横に並べた行列である。

この B_{\mathcal A} を、基底 \mathcal A から基底 \mathcal B への 基底の変換行列と呼ぶ。

&math( \bm x&=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm x_{\mathcal A}\\ &=\big(\bm b_1\ \bm b_2\ \dots\ \bm b_n\big)\bm x_{\mathcal B}\\ );

&math( \bm b_i=\big(\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\big)\bm b_{i\mathcal A} );


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