量子力学Ⅰ/不確定性原理 のバックアップ差分(No.5)

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[[量子力学Ⅰ/波動関数の解釈]]

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* 不確定性原理 [#q23b2625]

量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。

不確定性原理は例えば、「&math(x); と &math(p_x); が同時に正確に定まるような状態は存在しない」という形で言い表せる。

計算の詳細は後述するとして、シュレーディンガー方程式より導かれる結果は次のようになる。

 &math(
\sigma_x\cdot\sigma_{p_x} = 
\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle}
\sqrt{\big\langle (p_x-\langle p_x\rangle)^2\big\rangle} \ge \frac{\hbar}{2}
);

どんな波動関数に対してもこの不等式が成り立つことは、
そもそも電子自身が「上記の不等式以上に定まった位置や運動量を持つことがない」
ことを示している。

このことと、位置や運動量を測定する際にどうしても有限の誤差を生じるため、
位置や運動量を「測定によって正確に決定できない」ということとは、
しばしば混同して議論されるが、本来異なる話であるため分けて考える必要がある。

実際、ハイゼンベルグが当初議論したのは位置 &math(x); を測定する際の測定誤差 &math(\epsilon_x); と、
その位置の測定により運動量 &math(p); が受ける撹乱 &math(\eta_p); の積 &math(\epsilon_x\eta_p); 
に関するものであり、ハイゼンベルグの思考実験においては &math(\epsilon_x\eta_p\ge\hbar/2); 
が得られた。

しばしば量子ゆらぎに関する不確定性  &math(\sigma_x\cdot\sigma_{p_x}\ge\hbar/2); と、~
測定の及ぼす撹乱に関する不確定性 &math(\epsilon_x\eta_p\ge\hbar/2); は混同されてきたが、~
特に後者については測定のしかたによっては正しくなく、
上記の不等式を下回る実験が可能であることが近年報告されている。
((http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevA.67.042105))

* 不確定性原理の導出 [#g5fe668e]

定義より、

 &math(\sigma_x=\sqrt{\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle});

 &math(\sigma_p=\sqrt{\big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle});

であるから、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
=\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle
);

演算子 &math(\alpha=x-\langle x\rangle);、
&math(\beta=p-\langle p\rangle=-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle); を導入すると、
どちらもエルミートである。

これは、

 &math(\int \psi^*(x\psi)\,d\bm r=\int (x\psi)^*\psi\,d\bm r);

 &math(
\int \psi^*\hat p\psi)\,d\bm r
&=\int \psi^*(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi)\,d\bm r\\
&=-\int \frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi^*\psi\,d\bm r
+\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}\\
&=\int \hat p^*\psi^*\psi\,d\bm r\\
&=\int (\hat p\psi)^*\psi\,d\bm r\\
);

より、&math(x,\hat p); がどちらもエルミートであることと、
定数もエルミートであること、エルミート同士の和がエルミートになること、から導かれる。

&math(\alpha,\beta); のエルミート性を用いることで、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
&=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx\\
&=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx\\
&=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx\\
);

を得る。最後の積分を関数の内積として考えれば、それぞれ関数 &math(\alpha\psi); 
と &math(\beta\psi); のノルムの2乗を表わしている。
2つのベクトル &math(\bm x,\bm y); に対して一般に、

 &math(|\bm x|^2|\bm y|^2\ge|(\bm x,\bm y)|^2);

が成り立つから(シュバルツの不等式)、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
&\ge\left|\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx\right|^2\\
&=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2\\
&=\left|\int \psi^*\left(\frac{\alpha\beta-\beta\alpha}{2}+\frac{\alpha\beta+\beta\alpha}{2}\right)\psi\,dx\right|^2\\
&=\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2
 +\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\
);

と変形できる。最後の等式で落とした項は、

 &math(
&\phantom{+}
  \frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)^*
            \left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\
&+\frac{1}{4}\left(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right)^*
            \left(\int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\right)\\
&=\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*-\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\\
&+\frac{1}{4}\int \psi(\alpha^*\beta^*+\beta^*\alpha^*)\psi^*\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int \psi(\alpha^*\beta^*\psi^*)\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
 -\frac{1}{2}\int \psi(\beta^*\alpha^*\psi^*)\,dx
            \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int (\alpha\beta\psi)^*\psi\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
 -\frac{1}{2}\int (\beta\alpha\psi)^*\psi\,dx
            \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int (\beta\psi)^*(\alpha\psi)\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
 -\frac{1}{2}\int (\alpha\psi)^*(\beta\psi)\,dx
            \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx
            \int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
 -\frac{1}{2}\int \psi^*(\alpha\beta\psi)\,dx
            \int \psi^*(\beta\alpha\psi)\,dx\\
&=0
);

となって消える。

&math(
(\alpha\beta-\beta\alpha)\psi
&= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)\\
&= x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\psi-x\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}(x\psi)-\frac{\hbar}{i}\psi\\
&= -\frac{\hbar}{i}\psi\\
);

より、

 &math(
(\sigma_x\cdot\sigma_p)^2
&\ge\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(i\hbar)\psi\,dx\right|^2
 +\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\
&\ge\frac{\hbar^2}{4}
 +\frac{1}{4}\left|\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx\right|^2\\
&\ge\frac{\hbar^2}{4}
);

すなわち、

 &math(\sigma_x\cdot\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2});

を得る。

** 波動関数から理解する不確定性の意味 [#d6a6e62e]

運動量の標準偏差がゼロであるような波動関数はどのようなものであろうか?

&math(\hat p-\langle p\rangle); がエルミートであることを用いて式変形すれば、

 &math(
\sigma_p^2
&=\iiint\psi^*\left(\hat p-\langle p\rangle\right)^2\psi\,d\bm r\\
&=\iiint\left(\hat p\psi-\langle p\rangle\psi\right)^*
        \left(\hat p\psi-\langle p\rangle\psi\right)\,d\bm r\\
&=\iiint\left|\hat p\psi-\langle p\rangle\psi\right|^2\,d\bm r\\
&=0
);

となり、すなわち至る所で

 &math(\hat p\psi=\frac{\hbar}{i}\frac{\PD\psi}{\PD x}=\langle p\rangle\psi);

が要求される。これは、

 &math(\psi(\bm x,t)=\psi(\bm 0,t)e^{i\langle p\rangle x/\hbar});

を表わしており、このとき &math(|\psi(\bm x,t)|^2=|\psi(\bm 0,t)|^2); となり
波動関数の絶対値は &math(x); によらず一定値を取る。すなわち波動関数は &math(x); の全範囲に広がってしまう。

** 最小波束 [#y416874e]

2つの不等号で等号が成り立つ条件は、

+ シュバルツの不等式で2つのベクトルが平行であること~
すなわち &math(\gamma); を定数として &math(\alpha\psi=\gamma\beta\psi);
+ &math(\int \psi^*(\alpha\beta+\beta\alpha)\psi\,dx=0);

1. より、

 &math(
(x-<x>)\psi=\gamma(\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}-<p>)\psi
);

 &math(
\frac{\PD\psi}{\PD x}=\frac{i}{\hbar}\left(\frac{x-<x>}{\gamma}+<p>\right)\psi
);

 &math(
\psi(x,t)=\psi_0e^{\frac{i}{\hbar}\left(\frac{(x-<x>)^2}{2\gamma}+<p>x\right]}
);

また、1. の式を 2. に代入すれば、

&math(
0&=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\beta\psi)^*\alpha\psi\,dx\\
&=\int \psi^*\frac{\alpha^2}{\gamma}\psi\,dx+\int (\frac{\alpha}{\gamma}\psi)^*\alpha\psi\,dx\\
&=\left(\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\gamma^*}\right)\int \alpha^2|\psi|^2\,dx\\
);

&math(\int \alpha^2|\psi|^2\,dx>0); より、&math(1/\gamma+1/\gamma^*=0); 
すなわち &math(\gamma+\gamma^*=0); となり、&math(\gamma); は純虚数でなければならない。

&math(x); の絶対値が大きいところで &math(\psi); が有限となるためには
&math(\gamma); は負の虚数でなければならない。
実際、&math(\gamma=-2i\sigma_x^2/\hbar);、&math(\psi_0=1/\sqrt{2\pi\sigma_x^2}); とすることにより

 &math(
\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left[\frac{(x-\langle x\rangle)^2}{4\sigma_x^2}+\frac{i\langle p\rangle}{\hbar}x\right]
);

が得られ、この式は &math(\sigma_x^2 = \langle \alpha^2\rangle); を満足する、
規格化された波動関数を与える。

* 要検討 [#n66e6b52]

http://www.phys.asa.hokkyodai.ac.jp/osamu/lectures/qm/node31.html

のような技巧的な証明の方が簡単か?

* 観測の不確定性 [#x4da8807]


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