多粒子系の波動関数とボゾン・フェルミオン のバックアップの現在との差分(No.25)

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[[量子力学Ⅰ]]

&katex();

* 概要 [#q7edd673]

これまで、１粒子のシュレーディンガー方程式の解法を細かく見てきたが、
以下では多粒子系の問題について考える。(教科書では「量子力学II」に収録されている９章の内容となる)

** 目次 [#g08172c8]
#contents

* ２粒子系の量子力学 [#w3265732]

古典的なハミルトニアンは系のエネルギーを位置と運動量で表したものであった。

したがって２粒子系であれば、２つの粒子の位置座標 &math(\bm r_1,\bm r_2); 
および、運動量 &math(\bm p_1,\bm p_2); を使って、
したがって２粒子系であれば、２つの粒子の位置座標 $\bm r_1,\bm r_2$ 
および、運動量 $\bm p_1,\bm p_2$ を使って、

　&math(
H(\bm r_1,\bm r_2,\bm p_1,\bm p_2)=\underbrace{\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}}_{運動エネルギー}+\underbrace{\mathop{V(\bm r_1,\bm r_2)}_{\ } }_{ポテンシャル}
);
$$
H(\bm r_1,\bm r_2,\bm p_1,\bm p_2)=\underbrace{\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}\rule[-14pt]{0pt}{10pt}}_{\text{運動エネルギー}}+\underbrace{\mathop{V(\bm r_1,\bm r_2,t)}_{\ }\rule[-14pt]{0pt}{10pt} }_{\text{ポテンシャル}}
$$

などとなる。

量子力学ではハミルトニアンに &math(\bm p\to\frac{\hbar}{i}\bm \nabla);
量子力学ではハミルトニアンに $\bm p\to\frac{\hbar}{i}\bm \nabla$
の置き換えをして、演算子

　&math(
$$
\hat H\big(\bm r_1,\bm r_2,\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_{r_1},\frac{\hbar}{i}\bm \nabla_{r_2}\big)=
-\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_{r_1}^2
-\frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_{r_2}^2
+V(\bm r_1,\bm r_2)
);
{}-\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_{r_1}^2
{}-\frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_{r_2}^2
{}+V(\bm r_1,\bm r_2,t)
$$

を得る。ただし、&math(\nabla_{r_1}^2=\frac{\partial^2}{\partial \bm r_1^2}); は &math(\bm r_1); に対するラプラシアン、&math(\nabla_{r_2}^2=\frac{\partial^2}{\partial \bm r_2^2}); は &math(\bm r_2); に対するラプラシアン、
を得る。ただし、$\nabla_{r_1}^2=\frac{\partial^2}{\partial \bm r_1^2}$ は $\bm r_1$ に対するラプラシアン、$\nabla_{r_2}^2=\frac{\partial^2}{\partial \bm r_2^2}$ は $\bm r_2$ に対するラプラシアン、

これが波動関数に作用する演算子となるのであるから、
２粒子系の波動関数は &math(\bm r_1,\bm r_2); の関数であるはずだ。
２粒子系の波動関数は $\bm r_1,\bm r_2$ の関数であるはずだ。

　２粒子系の波動関数： &math(\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)); 
　２粒子系の波動関数： $\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)$ 

すると、シュレーディンガー方程式は

　&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)=\hat H\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t));
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)=\hat H\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)$$

と書ける。

波動関数を大文字にしたのは教科書に合わせるためで、表記上の問題しかない。
教科書では、１粒子波動関数を小文字 &math(\psi,\varphi); で、多粒子波動関数を大文字 
&math(\Psi,\Phi); で表すことになっている。
教科書では、１粒子波動関数を小文字 $\psi,\varphi$ で、多粒子波動関数を大文字 
$\Psi,\Phi$ で表すことになっている。

　波動関数の絶対値の二乗：　&math(\big|\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\big|^2d\bm r_1d\bm r_2);　
　波動関数の絶対値の二乗：$\big|\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\big|^2d\bm r_1d\bm r_2$

は時刻 &math(t); において、
-粒子１を位置 &math(\bm r_1); の近傍の &math(d\bm r_1); に、
-粒子２を位置 &math(\bm r_2); の近傍の &math(d\bm r_2); に、
は時刻 $t$ において、
-粒子１を位置 $\bm r_1$ の近傍の $d\bm r_1$ に、
-粒子２を位置 $\bm r_2$ の近傍の $d\bm r_2$ に、

同時に見出す確率となる。
見出す確率となる。

物理量 &math(O(\bm r_1,\bm r_2,\bm p_1,\bm p_2)); の期待値 &math(\overline O); は、
対応する演算子 &math(\hat O(\bm r_1,\bm r_2,\hbar\bm \nabla_{r_1}/i,\hbar\bm \nabla_{r_2}/i)); 
物理量 $O(\bm r_1,\bm r_2,\bm p_1,\bm p_2)$ の期待値 $\overline O$ は、
対応する演算子 $\hat O(\bm r_1,\bm r_2,\hbar\bm \nabla_{r_1}/i,\hbar\bm \nabla_{r_2}/i)$ 
を用いて次のように与えられる。

　&math(
\overline O(t)=\iint \Psi^*(\bm r_1,\bm r_2,t)\,\hat O\,\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\,d\bm r_1\,\bm r_2
);
$$
\overline O(t)=\iint \Psi^*(\bm r_1,\bm r_2,t)\,\hat O\,\Psi(\bm r_1,\bm r_2,t)\,d\bm r_1\,d\bm r_2
$$

これらが１粒子系で学んだ内容の自然な拡張となっていることを確認せよ。

* 多粒子系の量子力学 [#ne59b5a9]

一般の &math(n); 粒子系では、位置座表をそれぞれ &math(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n); として、
波動関数を &math(\Psi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t)); とすれば良い。
一般の $n$ 粒子系では、位置座表をそれぞれ $\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n$ として、
波動関数を $\Psi(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t)$ とすれば良い。
このときハミルトニアンは例えば次のような形に書けるはずで、

　&math(
$$
\hat H=
\underbrace{\sum_{j=1}^n -\frac{\hbar^2}{2m_j}\bm\nabla_{r_j}^2}_{運動エネルギー}+
\underbrace{V(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n)\rule[-16.5pt]{0pt}{10pt}}_{ポテンシャルエネルギー}
);
\underbrace{\sum_{j=1}^n -\frac{\hbar^2}{2m_j}\bm\nabla_{r_j}^2}_{\text{運動エネルギー}}+
\underbrace{V(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n,t)\rule[-14pt]{0pt}{10pt}}_{\text{ポテンシャルエネルギー}}
$$

これを用いてシュレーディンガー方程式はやはり次の形に書ける。

　&math(i\hbar\frac{\PD}{\PD t}\Psi=\hat H\Psi);
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\hat H\Psi$$

波動関数の物理的意味は、時刻 &math(t); において、
それぞれの粒子を位置 &math(\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n); 
の周囲 &math(d\bm r_1,d\bm r_2,\dots,d\bm r_n); 
に見出す確率が &math(|\Psi|^2d\bm r_1\dots d\bm r_n); である。
波動関数の物理的意味は、時刻 $t$ において、
それぞれの粒子を位置 $\bm r_1,\bm r_2,\dots,\bm r_n$ 
の周囲 $d\bm r_1,d\bm r_2,\dots,d\bm r_n$ 
に見出す確率が $|\Psi|^2d\bm r_1\dots d\bm r_n$ である。

１粒子に対する波動関数は絶対値の二乗を取るだけでそのまま現実の三次元空間中における粒子の存在確率密度を表すことになり、「物質波」と呼ぶにふさわしいものであったが、多粒子系の波動関数は現実の三次元空間ではなく、仮想的な $3n$ 次元空間（粒子数 $n$）における確率密度に対応するものであり、もはや「物質波」と呼べるようなものではなくなっていることにも注目せよ。

これまで学んだとおり、１粒子のシュレーディンガー方程式でも
解析的に閉じた解が得られるのは非常に単純な問題に限られており、
そのような例外的な場合に限ってさえ、解を得るには高度な数学を要するのであった。

多体のシュレーディンガー方程式を解析的に閉じた形で解くことはほぼ不可能であるため、
様々な近似を用いて１体の問題に直し、さらに近似を用いて複雑な１体問題を解くことにより、
ようやく実験結果と比較できるような理論的予測が得られる。

しかも、多体問題ではシュレーディンガー方程式だけでは解は一意に定まらないため、
以下に見るように対称性に関する要請も満たすよう、解を構築する必要がある。
もう１つ、多体問題ではシュレーディンガー方程式だけでは波動関数が一意に定まらない。
シュレーディンガー方程式に加えて対称性に関する制約を与えて始めて解が一意に定まることになる。
以下この点について考える。


* 同種粒子の不可弁別性 [#q8a2e6f8]

多粒子系の量子力学では%%%シュレーディンガー方程式に加えて%%%、同種の粒子の間に不可弁別性が成り立つことが求められる。

粒子 &math(j); と &math(k); とが同種の粒子なら、
- 粒子 &math(j); が &math(\bm r_a); に、粒子 &math(k); が &math(\bm r_b); に、見つかる確率と、
- 粒子 &math(j); が &math(\bm r_b); に、粒子 &math(k); が &math(\bm r_a); に、見つかる確率と、
粒子 $j$ と $k$ とが同種の粒子なら、
- 粒子 $j$ が $\bm r_a$ に、粒子 $k$ が $\bm r_b$ に、存在する状態と
- 粒子 $j$ が $\bm r_b$ に、粒子 $k$ が $\bm r_a$ に、存在する状態と

は常に等しい、というのが同種粒子の不可弁別性である。
は物理的に区別されない、同一の状態である、というのが同種粒子の不可弁別性である。

量子力学では観測するまで粒子の位置は決まっていない。

観測した結果、２カ所に電子が見つかったとして、
それらのどちらがどちらの電子かを判別する方法はない。

したがって、そもそもそれら２つの状態は区別できないものとして扱うべきだ、
とするのが不可弁別性であり、これに基づき構築した理論が現実をよく再現する。

すべての粒子に「個別の軌道」が存在することをよりどころとする
古典論とは大きく異なる考え方であることに注意せよ。

またこの要請はシュレーディンガー方程式とは独立に与えられることにも注意せよ。
繰り返しになるが、不可弁別性はシュレーディンガー方程式から導かれるものではない。
物理的に正しい波動関数はシュレーディンガー方程式を満たす&ruby(・・・・・){だけでなく};、
不可弁別性とも矛盾しないことが求められるのである。
* 多粒子系の物理量 [#i5550a42]

粒子の不弁別性により、
粒子１と２とが同種である場合、粒子の不可弁別性により、

- 粒子１の位置
- 粒子２の運動量

などの物理量は、「観測可能量」とはならない。
粒子１と粒子２とが区別できないとすれば、このような物理量を測定することは不可能だからだ。

観測可能（定義可能）な物理量としては、

- 全エネルギー
- 全運動量
- 全角運動量

のような「全粒子の物理量の総和」や、

- ある範囲に入る粒子の数
- 上向きスピンを持つ粒子の数

のように「ある条件を満たす粒子数」など、~
「個々の粒子を区別せずに定義できるもの」のみとなる。

* 粒子の入れ替え演算子とその固有値 [#o688ef49]

不可弁別性を式で書けば、同種粒子 &math(j); と &math(k); に対して、
不可弁別性が成り立つとき、同種粒子 $j$ と $k$ とを入れ替えた状態は同じ状態を表すから、

　&math(
$$
\begin{aligned}
&\big|\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\big|^2\\
=&\big|\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\big|^2\\
&\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k
);
&\hspace{1.2cm}{}^\uparrow_j\hspace{1cm}{}^\uparrow_k
\end{aligned}
$$

すなわち、
でなければならない。すなわち、

　&math(
$$
\begin{aligned}
&\Psi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots,t)\\
=C&\Psi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots,t)\ \ \ ただし |C|=1\\
&\hspace{1.4cm}^\uparrow_j\hspace{1.1cm}^\uparrow_k
);
&\hspace{1.1cm}{}^\uparrow_j\hspace{1cm}{}^\uparrow_k
\end{aligned}
$$

であるから、同種の２つの粒子の座標（一般には空間座標＋スピン座標）を入れ替えても、
波動関数の絶対値は変化せず、位相のみが変化することになる。

不可弁別性だけが条件であれば、
&math(C); は時刻 &math(t); や位置座標 &math(\bm r_k); の関数であっても構わないのであるが、
実際には以下に見るように、&math(C); の値は粒子の種類によって &math(\pm 1); のどちらか一方を取る。
$C$ は時刻 $t$ や位置座標 $\bm r_k$ の関数であっても構わないのであるが、
実際には $C$ の値は粒子の種類によって $\pm 1$ のどちらか一方を取らなければならないことが知られている。

このことを、「関数に作用して粒子 &math(j); と &math(k); の座標入れ替える」
という「座標の入れ替え演算子 &math(\hat P_{jk}); 」を導入して解説する。
このことを、「関数に作用して粒子 $j$ と $k$ の座標入れ替える」
という「座標の入れ替え演算子 $\hat P_{jk}$ 」を導入して解説する。

まず、この &math(\hat P_{jk}); は線形演算子であるから、その「固有状態」を考えることができる。
まず、この $\hat P_{jk}$ は線形演算子である。

固有関数の１つを &math(\Phi); とすると、
$$\begin{aligned}
\hat P_{12}\big[af(\bm r_1,\bm r_2)+bg(\bm r_1,\bm r_2)\big]
&=af(\bm r_2,\bm r_1)+bg(\bm r_2,\bm r_1)\\
&=a\big[\hat P_{12}f(\bm r_1,\bm r_2)\big]+b\big[\hat P_{12}g(\bm r_1,\bm r_2)\big]\\
\end{aligned}$$

　&math(
したがって、その「固有状態」を考えることができる。
固有関数の１つを $\Phi$ とすると、

$$\begin{aligned}
\hat P_{jk}&\Phi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots)=C\Phi(\dots,\bm r_a,\dots,\bm r_b,\dots)\\
=&\Phi(\dots,\bm r_b,\dots,\bm r_a,\dots)
);
\end{aligned}$$

が成り立ち、このとき &math(C); は &math(\hat P_{jk}); の固有値であり、&math(\bm r_a,\bm r_b); によらない定数となる。
が成り立ち、このとき $C$ は $\hat P_{jk}$ の固有値であるから、$\bm r_a,\bm r_b$ によらない定数である。

さらに、&math(\hat P_{jk}^2); は恒等変換となるから &math(C^2=1); 
であり、そこから固有値は &math(C=\pm 1); に限られることが分かる。
さらに、$\hat P_{jk}^2$ は恒等変換となるから $C^2=1$ 
であり、そこから $\hat P_{jk}$ に固有値が存在すれば $C=\pm 1$ に限られる。

多粒子波動関数は必ず同種粒子に対する $\hat P_{jk}$ の固有関数になっている、ということを言いたいのだがその前に、そのような固有関数が必ず存在することと、固有関数は時間発展しても固有関数のままであることと、を見ることにする。

* 多粒子ハミルトニアンの対称性 [#jc3b610f]

&math(C); が時間的にも定数となることを多粒子ハミルトニアンの対称性から以下のように導ける。
シュレーディンガー方程式に従い時間発展する波動関数に対しては $C$ （の期待値）が時間的依存しない定数となることを多粒子ハミルトニアンの対称性から以下のように導ける。

２つの陽子の位置を &math(\bm R_1,\bm R_2); に固定した水素様「分子」の２つの電子に対するポテンシャルは、それぞれの座標を &math(\bm r_1,\bm r_2); として
２つの陽子の位置を $\bm R_1,\bm R_2$ に固定した水素様「分子」の２つの電子に対するポテンシャルは、それぞれの座標を $\bm r_1,\bm r_2$ として

　&math(
$$\begin{aligned}
V(\bm r_1,\bm r_2)&=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\Biggl[
\underbrace{
\frac{-1}{|\bm r_1-\bm R_1|}+
\frac{-1}{|\bm r_1-\bm R_2|}}_{電子1と原子核}+
\underbrace{
\frac{-1}{|\bm r_2-\bm R_1|}+
\frac{-1}{|\bm r_2-\bm R_2|}}_{電子2と原子核}+
\underbrace{\frac{+1}{|\bm r_1-\bm r_2|}}_{電子間相互作用}
\underbrace{\frac{+1}{|\bm r_1-\bm r_2|}}_{\text{電子間相互作用}}
\Biggr]\\
&=V_{１体}(\bm r_1)+V_{１体}(\bm r_2)+V_{２体}(\bm r_1,\bm r_2)
); 
\end{aligned}$$ 

と書ける。

このポテンシャルが２つの電子の位置座標 &math(\bm r_1,\bm r_2); 
このポテンシャルが２つの電子の位置座標 $\bm r_1,\bm r_2$ 
の入れ替えに対して対称性を持っている（値が変わらない）ことに注意せよ。

　&math(\hat P_{12}V(\bm r_1,\bm r_2)&=V(\bm r_2,\bm r_1)\\
&=V(\bm r_1,\bm r_2));
$$\begin{aligned}
\hat P_{12}V(\bm r_1,\bm r_2)&=V(\bm r_2,\bm r_1)\\
&=V(\bm r_1,\bm r_2)
\end{aligned}$$

したがって、ハミルトニアンも対称である。
したがって、ハミルトニアンも入れ替えに対して対称になる。

　&math(\hat P_{12}\hat H&=H);

一般に、ハミルトニアンは同種粒子の入れ替えに対して対称な形をしている。~
この例に限らず、また、２粒子系に限らず、一般にハミルトニアンは同種粒子の入れ替えに対して対称な形をしている。~
　↔ 質量やポテンシャル=相互作用が異なる粒子は「同種」と言えない

粒子 &math(a,b); が同種粒子であれば &math(\hat P_{jk}); は &math(\hat H); と可換となる。なぜなら、任意の &math(\Psi); に対して、
粒子 $j,k$ が同種粒子であれば $\hat P_{jk}$ は $\hat H$ と可換となる。なぜなら、任意の $\Psi$ に対して、

　&math(
$$
\hat P_{jk}\big\{\hat H\Psi\big\}=\big\{\hat P_{jk}\hat H\big\}\big\{\hat P_{jk}\Psi\big\}=\hat H\big\{\hat P_{jk}\Psi\big\}
);
$$

すなわち、

　&math(\hat P_{jk}\hat H=\hat H\hat P_{jk});
$$\hat P_{jk}\hat H=\hat H\hat P_{jk}$$ あるいは $[\hat P_{jk},\hat H]=0$ 

このことから、

+ &math(\hat P_{jk}); に対応する物理量は定数であり、時間に寄らないこと（← [[エーレンフェストの定理>量子力学Ⅰ/エーレンフェストの定理#j882b192]]で学んだ）
+ 両者の同時固有関数が存在すること（← [[不確定性原理>量子力学Ⅰ/不確定性原理#hb461116]] で学んだ）
+ 両者の同時固有関数が存在すること（← [[不確定性原理>量子力学Ⅰ/不確定性原理#hb461116]] で学んだ）~
（指摘し忘れていたが $\hat P_{jk}$ はエルミートである（$(\hat P_{jk}\phi',\phi)=(\phi',\hat P_{jk}\phi)$）
+ $\hat P_{jk}$ に対応する物理量は定数であり、時間によらないこと~
$\frac{d}{dt}\langle C\rangle=\langle\frac1{i\hbar}[\hat P_{jk},\hat H]\rangle=0$
（← [[エーレンフェストの定理>量子力学Ⅰ/エーレンフェストの定理#j882b192]]で学んだ）

が結論される。

すなわち、系がある時刻において &math(\hat P_{jk}); の固有状態にあれば、
時刻が変化してもやはり同じ固有値（&math(+1); または &math(-1);）の固有状態のままであることが分かる。
すなわち、時間に寄らないシュレーディンガー方程式の解(ハミルトニアンの固有関数)であり、
なおかつ $\hat P_{jk}$ の固有状態となるような波動関数が存在する。
現実の（非定常な）波動関数はそのような同時固有状態の線形結合で表される。
(($\hat P_{jk}$ がエルミートであれば $\phi_{\text{sym}}$ を $1$ の、$\phi_{\text{asym}}$ を $-1$ の固有関数として任意の関数を $\phi=A\phi_{\text{sym}}+B\phi_{\text{asym}}$ と展開できるが、この $\phi$ が $|\phi|^2=|\hat P_{jk}\phi|^2$ を満たすとすると、$|A\phi_{\text{sym}}+B\phi_{\text{asym}}|^2=|A\phi_{\text{sym}}-B\phi_{\text{asym}}|^2$ を得る。たぶんここから $A$ か $B$ のどちらかがゼロであることは導けないので、現実の波動関数が $\hat P_{jk}$ の固有関数となることは、$|\phi|^2=|\hat P_{jk}\phi|^2$ の要請とは別の要請になっているんだと思う。))

また、時間に寄らないシュレーディンガー方程式の解(ハミルトニアンの固有関数)であり、
なおかつ &math(\hat P_{jk}); の固有状態となるような波動関数を見つけることは常に可能である。
そして、系がある時刻において $\hat P_{jk}$ の固有状態にあれば、
時刻が変化してもやはり同じ固有値（$+1$ または $-1$）
の固有状態のままである。

* ボゾンとフェルミオンの対称性・反対称性 [#s491e79c]

場の量子論などの進んだ研究から、
実在粒子の波動関数はシュレーディンガー方程式の解になることに加えて
任意の同種粒子に対する入替操作 &math(\hat P_{jk}); に対して
多粒子系の波動関数はシュレーディンガー方程式の解になることに加えて
任意の同種粒子に対する入替操作 $\hat P_{jk}$ に対する
固有関数になっているという条件も満たさねばならないことが知られている。

例えば電子では &math(C=-1);、光子では &math(C=+1); の固有関数になる。
例えば電子２個、光子２個からなる系の波動関数 $\Psi$ について、
$1$ 番目と $2$ 番目が電子であれば $\hat P_{12}$ に対する固有値は $-1$ となり、$3$ 番目と $4$ 番目が光子であれば、$\hat P_{34}$ に対する固有値は $+1$ となる。したがって、この波動関数は、

- &math(C=+1); を満たす粒子はボーズ粒子（ボゾン）~
→ スピンは整数値を取る~
~
- &math(C=-1); を満たす粒子はフェルミ粒子（フェルミオン）~
→ スピンは半整数値を取る
$$\hat H\Psi=E\Psi$$
$$\hat P_{12}\Psi=-\Psi$$
$$\hat P_{34}\Psi=\Psi$$

と呼ばれ、すべての粒子はこのどちらかに属する。
を満たさなければならないことになる。(本当は、光子などを扱うには相対論的効果や生成・消滅過程を考慮した記述が必要になるため この書き方はかなり問題があるのだが・・・雰囲気だけ読み取って欲しい。)

実際には、波動関数は実空間座標の他にスピン座標 &math(s_j); の関数でもあるから、
入れ替え演算子の固有値は $C=\pm 1$ に限られるのであった：

　&math(\Psi(\bm r_1,s_1,\bm r_2,s_2,\dots,\bm r_n,s_n));
- $C=-1$ となる粒子はフェルミ粒子（フェルミオン）と呼ばれる~
→ スピンは半整数値を取る
-- 素粒子とされるクォーク（通常単独では存在しない）やレプトン（電子やニュートリノなど）
-- ３つのクォークからなるハドロン（陽子や中性子など）
-- 奇数個のフェルミオンが硬く結びついた粒子（He^^3^^ 原子 = 陽子×2＋中性子×1＋電子×2 など）~
　→ そのような粒子の入れ替えはフェルミオンの奇数回の入れ替えに分解できる~
~
- $C=+1$ となる粒子はボーズ粒子（ボゾン）と呼ばれる~
→ スピンは整数値を取る
-- 素粒子の間の相互作用を媒介するゲージ粒子である光子やウィークボソン、グルーオンなど（それぞれ電磁気力、弱い力、強い力を媒介）
-- 偶数個のフェルミオンが強く結びついた粒子（超流動を生じる He^^4^^ 原子 = 陽子×2＋中性子×2＋電子x2、超伝導を担うクーパー対 = 電子×2 など）~
　→ そのような粒子の入れ替えはフェルミオンの偶数回の入れ替えに分解できる
-- フォノンやプラズモンなど、集団励起状態を表す準粒子

の形を取る。粒子の入れ替えは空間座標とスピンの座標を同時に入れ替える操作に対応する。
すべての量子力学的粒子はこのどちらかに属する。

重要なことなのでもう一度書くと、粒子の入れ替えに対する
ボーズ粒子の対称性 &math(\hat P_{jk}\Psi=\Psi); や
フェルミ粒子の反対称性 &math(\hat P_{jk}\Psi=-\Psi); 
フェルミ粒子の反対称性 $\hat P_{jk}\Psi=-\Psi$ や
ボーズ粒子の対称性 $\hat P_{jk}\Psi=\Psi$ 
は、「シュレーディンガー方程式とは独立した基本原理」であるから、
多粒子系の波動関数を求める際には、それがシュレーディンガー方程式を満たすことに加えて、
これらの対称性を備えていることも確認しなければならない。

電子、陽子、中性子など、半整数値のスピンを持つ粒子はフェルミオンであり、
これらの粒子は同種の粒子と物理的に重なることができない（パウリの排他律）。

光子、ウィークボゾン、グルーオンなど、相互作用を媒介する粒子（それぞれ電磁気力、弱い力、強い力を媒介）や、フォノン、ポラリトンなどの仮想粒子、
ヘリウム原子など、整数値のスピンを持つ粒子はボゾンとして振る舞う。

以下では主に電子を想定して、フェルミオンについて主に学ぶ。
ボゾンについては付録的に述べる。

** 波動関数の一意性 [#t95bbee6]

逆に言えば、与えられたポテンシャルに対してシュレーディンガー方程式（＋境界条件）だけでは
逆に言えば、与えられたポテンシャルに対してシュレーディンガー方程式（＋境界条件＋規格化条件）だけでは
数学的に波動関数を一意に定めることはできず、
対称性を指定して始めて波動関数が１つに定まるのである（規格化定数を除いて）。
対称性を指定して始めて波動関数が１つに定まるのである（位相因子を除いて）。
* パウリの排他律１ [#ze677499]

フェルミオンに関する著しい性質として、
２つのフェルミオンが同じ座標を取る確率は常にゼロになる。

なぜならこの場合、２つの位置座標を入れ替えても形が変わらないため、

　&math(
$$\begin{aligned}
\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=C\Psi(\dots,\,&\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)\\
&\ \ \uparrow\hspace{17mm}\uparrow\\
&\ \ \ 入れ替えた
);
\end{aligned}$$

　&math(
&(1-C)\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0\\
);
$$
(1-C)\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0
$$

フェルミオン &math(C=-1); では
フェルミオン $C=-1$ では

　&math(
&2\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0\\
);
$$
2\Psi(\dots,\bm r_a,s_a,\dots,\bm r_a,s_a,\dots,t)=0
$$

となり、波動関数の値がゼロであることが導かれるためだ。
これはパウリの排他律の一例となっている。

ボゾンの場合には &math(1-C=0); となるため、必ずしも波動関数はゼロとならず、
ここで、$s_?$ はスピン座標である。この授業ではスピンについて深く学ばないが、
スピンが異なれば波動関数値が異なって構わないため、ここで言う「同じ座標」とは、
「同じ空間座標かつ同じスピン」という意味に捉えて欲しい。

ボゾンの場合には $1-C=0$ となるため、必ずしも波動関数はゼロとならず、
同じ座標に複数の粒子が存在できる。

* 質問・コメント [#t9e105fe]

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**不可弁別性と確率 [#mb95aff5]
>[[岡安]] (&timetag(2021-02-27T08:20:24+09:00, 2021-02-27 (土) 17:20:24);)~
~
直方体の容器の中に２個の粒子が入っていてランダムに運動しています。~
次の３つの事象が起きる確率を考えます。~
Ⅰ：２個とも容器の左半分にある。~
Ⅱ：１個が左半分に、もう１個が右半分にある。~
Ⅲ：２個とも右半分にある。~
２個の粒子が区別できるなら、粒子をそれぞれ粒子1，粒子2として同様に確からしい事象を考えると~
Ⅰ：{粒子1左,粒子2左}~
Ⅱ：{粒子1左,粒子2右},{粒子1右,粒子2左}~
Ⅲ：{粒子1右,粒子2右}~
という４つの事象が考えられるので、求めるそれぞれの確率は~
P(Ⅰ)=1/4,P(Ⅱ)=1/2,P(Ⅲ)=1/4　となります。（２枚のｺｲﾝﾄｽと同じ。）~
２個の粒子が区別できないなら、同様に確からしい事象は~
Ⅰ：{１つの粒子左,もう１つの粒子左}~
Ⅱ：{１つの粒子左,もう１つの粒子右}~
Ⅲ：{１つの粒子右,もう１つの粒子右}~
という３つなので、求めるそれぞれの確率は~
P(Ⅰ)=1/3,P(Ⅱ)=1/3,P(Ⅲ)=1/3　となります。ご存知のように、この粒子が「区別できない」ということを使って量子状態に粒子を分配する仕方の数を求め、ラグランジュの未定乗数法を用いボース･アインシュタイン分布もフェルミ･ディラック分布も求めるというのが現代物理学の主流です。~
ところが、この　P(Ⅰ)=1/3,P(Ⅱ)=1/3,P(Ⅲ)=1/3という確率はコルモゴロフによる確率の公理（高校の数学Ａでは「確率の基本性質」）に反してしまいます。また、ボース･アインシュタイン分布もフェルミ･ディラック分布も量子状態が粒子を授受することでエネルギー平衡状態にあると考えても求められます。不可弁別性については見直す必要があるのではないでしょうか。~

//
- 書いてくださった内容のうち最後の３行以外についてはおっしゃる通りと思います。ただ私の理解不足で「不可弁別性については見直す必要がある」というのがどの点を指して書かれたものか理解できませんでした。もしよろしければ教えていただけますでしょうか？ -- [[武内 (管理人)]] &new{2021-02-28 (日) 21:23:44};
- P(Ⅰ)=1/3,P(Ⅱ)=1/3,P(Ⅲ)=1/3という確率は確率の公理に反するという点です。 -- [[岡安]] &new{2021-03-01 (月) 10:00:00};
- このページにおける不可弁別性の説明の仕方に問題があるというのではなく、不可弁別性自体に疑義があるため、不可弁別性を元にして量子力学を学ぶこと自体を見直すべきであるというご指摘でしょうか？ -- [[武内 (管理人)]] &new{2021-03-01 (月) 20:52:44};
- 私が読み違えていたために後出しになってしまい申し訳ないのですが「２個の粒子が区別できないなら、同様に確からしい事象は・・・」と書かれた部分は正しくないように思います。事象を I = {左に２つ}、 II = {左右に１つずつ}、 III = {右に２つ} の３つに分けるべきであるというのは正しいですが、そのことと、それら３つが等確率で生じるということとは直接結び付きません。この例における確率分布は I, II, III に対応する統計力学的に実現可能な状態数の比で決まると考えるのが良さそうです。粒子間に古典的な相互作用が働かない場合、古典力学では正確に 1:2:1 の確率分布になるところ、量子力学は不可弁別性から生じる「交換相互作用」の分だけこの確率からずれる可能性を示唆します。とはいえ不可弁別性から 1:1:1 になることが導かれるわけではないのだと思います。 -- [[武内 (管理人)]] &new{2021-03-01 (月) 21:54:17};
- 感動しています。先生はP(Ⅰ)=1/3,P(Ⅱ)=1/3,P(Ⅲ)=1/3という考えは間違っているとお考えなんですね。 ①ギブスのパラドックスを解消するためには（またはエントロピーの相加性が成り立つためには）区別できるn個の同じ種類の気体分子からなる系のミクロ状態の数ωをn!で割ったものω/n!をミクロ状態の数としなければならない。そこで、同じ種類の気体分子は区別できないと考えなければならないと教わりました。 ②g個の量子状態にn個のボソンを分配する仕方の数は(n+g-1)!/{n!(g-1)!}通りで同様に確からしい（g=2,n=2としたら容器の中の2粒子と同じ）、フェルミオンならg!/{n!(g-n)!}通りと教わりました。ｌ 「詳解　現代物理学演習」後藤憲一他、「確率・統計入門」小針ｱｷ宏、「An Introduction to Its Applications」W.Fellerにも書かれています。 　①も②も間違っていますよね。ある物理学者はある数学者に「君がそれを認めたら物理学がひっくり返ってしまう。」と言ったそうですが、そんなことはないんですね。安心しました。長々と書き申し訳ありません。 -- [[岡安]] &new{2021-03-02 (火) 15:38:20};
- ２つの１粒子状態に２つの粒子を詰める話と、箱の左右どちらで見つかるかという話とは異なります。後者は可能なすべてのミクロ状態に対して統計的平均を取った結果の空間分布で決まります。その結果が $P(\mathrm{I})=1/3,P(\mathrm{II})=1/3,P(\mathrm{III})=1/3$ になることを不可弁別性から示せるわけではないと思います。一方、２つの１粒子状態 $\psi_1,\psi_2$ に２つの粒子 $1,2$ を詰める話 ($g=2,n=2$) では $\mathrm{I}=\psi_1(1)\psi_1(2),\mathrm{II}=\psi_1(1)\psi_2(2)+\psi_2(1)\psi_1(2),\mathrm{III}=\psi_2(1)\psi_2(2),\mathrm{IV}=\psi_1(1)\psi_2(2)-\psi_2(1)\psi_1(2)$ の４つを独立な多粒子系量子状態として取れますが、このうちボゾンでは $\mathrm{I,II,III}$ が可能で、エネルギーに差異がないとすれば統計力学的にはこれら３つの状態が等確率 1:1:1 で実現するのに対して、フェルミオンでは $\mathrm{IV}$ だけが可能です。こちらの意味であれば私は $P(\mathrm{I})=1/3,P(\mathrm{II})=1/3,P(\mathrm{III})=1/3$ という考えが間違っているとは思いません。 -- [[武内 (管理人)]] &new{2021-03-02 (火) 17:17:55};
- この文脈であれば、ボゾンでは $P(\mathrm{I})=1/3,P(\mathrm{II})=1/3,P(\mathrm{III})=1/3,P(\mathrm{IV})=0$、フェルミオンでは $P(\mathrm{I})=0,P(\mathrm{II})=0,P(\mathrm{III})=0,P(\mathrm{IV})=1$ と書いておくのが良いかもしれませんね。 -- [[武内 (管理人)]] &new{2021-03-02 (火) 17:30:06};
- $g$ 個の１粒子状態に $n$ 個の粒子を入れる問題においても、「ミクロな状態数」としては「（独立かつ実現可能な）多粒子状態の数」をカウントしなければならない、というのが重要なのだと思います。 -- [[武内 (管理人)]] &new{2021-03-02 (火) 17:39:30};
- P(Ⅰ)=1/3,P(Ⅱ)=1/3,P(Ⅲ)=1/3という確率は空間については間違っているが量子状態への分配については正しいとお考えということは、学習院大学の田崎先生と同じお考えということですね。「エントロピーの相加性から判断して同じ種類の気体分子の不可弁別性を示すことができる」ということには反対でいらっしゃるということですね。 ２個のサイコロの偶奇を考えてもP(Ⅰ)=1/3,P(Ⅱ)=1/3,P(Ⅲ)=1/3という確率は確率の公理に反するので、２個の同種ボソンが何かしら特殊な関係にあるにしてもピッタリP(Ⅰ)=P(Ⅱ)=P(Ⅲ)となるというのは何故なのでしょう？P(Ⅰ)=1/4,P(Ⅱ)=1/2,P(Ⅲ)=1/4の方がはるかに自然に思えます。また、P(Ⅰ)=1/4,P(Ⅱ)=1/2,P(Ⅲ)=1/4は２個の粒子を区別してもしなくても導くことができます。 -- [[岡安]] &new{2021-03-03 (水) 15:18:39};
- 『「エントロピーの相加性から判断して同じ種類の気体分子の不可弁別性を示すことができる」ということには反対』がどこから来るのかが理解できていません。２個のサイコロの偶奇とは関係ないと思います。I, II, III の多粒子状態がぴったり同じ確率を持つ理由は、この問題設定でそれらが厳密に同じエネルギーを持つと仮定していることが直接の原因になります。 -- [[武内 (管理人)]] &new{2021-03-03 (水) 15:41:26};
- 空間的な左右への配分、量子状態への分配、２個のサイコロの偶奇といった問題を同一視できないことは、２つの粒子がフェルミオンである場合を考えれば明らかなように思うのですが、岡安さんはフェルミオンについても P(Ⅰ)=1/4,P(Ⅱ)=1/2,P(Ⅲ)=1/4 であると考えてらっしゃるのでしょうか？ -- [[武内 (管理人)]] &new{2021-03-03 (水) 15:58:39};
- 勿論、量子状態への粒子の分配の話はボソンについてです。私があげた３つの文献にはいずれも(n+g-1)!/{n!(g-1)!}を求めるのにg個の区別できる箱にn個の区別できない粒子（またはボール）を分配する仕方の数と同じであるとしています。２粒子の左右の空間への配分ではこの式にならないと仰っていられるということは、（ちょっと角が立ちますが）これらの文献の説明には同意されないということですよね。先生のように、誰が言ったとしても間違っていることは間違っていると言って下さる方こそ学習者の味方です。 -- [[岡安]] &new{2021-03-04 (木) 14:29:38};
- 「g個の区別できる箱にn個の区別できない粒子（またはボール）を分配する仕方の数」というのも、急に出てきた新しい話のように思います。また、～～～として分類した際の場合の数が (n+g-1)!/{n!(g-1)!} である、という話と、それぞれのミクロな状態が等確率で実現する、という話と、その結果としてマクロな状態が等確率で実現する、という話も分けて考える必要があります。まずは個々の「例え話」について、その話に出てくるどの性質が量子統計のどの性質とどのように似ているとして例えられたのかを整理できると、より理解が進むように感じました。ここでの議論がその助けになっていれば幸いです。（私自身としてはいろいろと発見や学びがありとても有意義でした。ありがとうございました。） -- [[武内 (管理人)]] &new{2021-03-04 (木) 15:38:22};

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**多粒子ハミルトニアンの対称性 [#e150cb59]
>[[いえやす]] (&timetag(2020-12-09T01:29:33+09:00, 2020-12-09 (水) 10:29:33);)~
~
同種粒子の扱い方について勉強しています。~
H と P が可換であることについて質問させていただきます。~
~
① 置換 P とハミルトニアンが可換であることの証明で、積 HΨ に置換 P を作用させると~
　P{HΨ} = {PH}{PΨ}~
となっているのですが、積 HΨ に P を作用させる場合は、H, Ψのそれぞれに P を作用させると考えなければならないのでしょうか？~
② これは置換 P なのでそのように考えるのでしょうか？~
③ P は1次演算子なので、すべての1次演算子ｆ に対しても~
　f{HΨ} = {fH}{fΨ}~
となるのでしょうか？~
~
ご指導よろしくお願いします。~

//
- 中身を具体的に考えてみるとわかると思います。$a,b$ を入れ替える $P_{ab}$ という演算子を考えると、$P_{ab}\{f(a,b)\cdot g(a,b)\}=f(b,a)\cdot g(b,a)$ ですが、これは $\{P_{ab}f(a,b)\}\{P_{ab}g(a,b)\}$ と等しいです。一方、例えば $P_x$ が $x$ での微分であるとすれば、$P_x\{c(x)d(x)\}=\{P_xc(x)\}d(x)+c(x)\{P_xd(x)\}$ だったりしますね。線形演算子は和に対しては分配法則が成り立ちますので $P(f+g)=Pf+Pg$ ですが、積に対してどういう演算法則が成り立つかはそれぞれ個別に考えなければなりません。 -- [[武内 (管理人)]] &new{2020-12-09 (水) 11:28:17};
- ご説明ありがとうございます。考え方がよく分かりました。 -- [[いえやす]] &new{2020-12-09 (水) 20:40:05};

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**質問 [#mc656d16]
>[[岡野]] (&timetag(2020-03-12T04:44:52+09:00, 2020-03-12 (木) 13:44:52);)~
~
同種粒子の不可弁別性は不確定性原理による性質ということですか~

//
- 不確定性原理は非可換な演算子で表される２つの物理量を同時に測定した際の確率分布の広がりに関する原理であるのに対して、同種粒子の不可弁別性は粒子の入れ替えに対するハミルトニアンの対称性と関連する波動関数の性質に関する原理ですので、少なくともこの授業で扱う範囲ではまったく独立のものととらえて構わないと思います。もっと進んだ理論において両者を関連付ける話題があるのかどうか、、、勉強不足でわからないのですが、なにかそういった話があるのでしょうか？ -- [[武内（管理人）]] &new{2020-03-12 (木) 16:20:26};
- 小出昭一郎著,量子力学IIの11ページにある説明は、粒子の位置と運動のどちらも完全には定められないという点を理由に説明を進めているので、同種粒子の不可弁別性は不確定性原理によるのであるのかと疑問に感じ、質問させていただきました。 -- [[岡野]] &new{2020-03-13 (金) 10:03:27};

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