復習:行列とその演算 のバックアップソース(No.4)

更新

[[線形代数II]]

* 内容 [#y25d87d4]

- ベクトルの行と列
- 転置行列
- 行列の和と積
- 2次正方行列の逆行列
- 小行列式を用いた演算

* 演習 [#xf9bd2e9]

(1) &math(A); は &math(2\times 3); 行列であり、&math(A=(a_{ij})); ただし &math(a_{ij}=3i-2j); と表せる。
&math(A); を通常の行列表示で表せ。

(2) 上記 &math(A); の転置行列 &math({}^t\!A); を答えよ。

(3) &math(n); 次正方行列 &math(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})); に対して、&math(C=(c_{ij})=A+B);、&math(D=(d_{ij})=AB); とする。&math(c_{ij},d_{ij}); を &math(a_{ij},b_{ij}); で表せ。
また、&math({}^t\!(AB)={}^t\!D={}^t\!B{}^t\!A); を証明せよ。

(4) &math(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}); と
&math(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}); に対して、
&math(A A^{-1}=A^{-1}A=E); を確かめよ。ただし &math(|A|=ad-bc\ne 0); とする。

(5) 行列の積は次のように小行列へ分割しても計算可能なことを確かめよ。~
&math(
\left(\begin{array}{cc|c}
a&b&c\\
d&e&f\\\hline 
g&h&i\\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
j&k\\
l&m\\\hline 
n&o\\
\end{array}
\right)
=\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
E\\F
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
AE+BF\\
CE+DF
\end{pmatrix}
);

ただし、例えば &math(A=\begin{pmatrix}a&b\\d&e\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}c\\f\end{pmatrix}); などとする。

* 解答例と解説 [#y4c927a5]

(1) 

&math(m\times n); 行列は、&math(m); 行 &math(n); 列 の行列のことであり、&math(A=(a_{ij})); は &math(i); 行 &math(j); 列成分が &math(a_{ij}); であることを表す。常に、「行→列」 の順に記述すると覚えればよい。Matrix を「行列」と訳した人に感謝せよ。

行列は___横書き文化圏___から来た概念なので、「行」は上から下へ数える。「列」は左から右に数える。

したがって、

&math(
A&=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
(3\cdot 1-2\cdot 1)&(3\cdot 1-2\cdot 2)&(3\cdot 1-2 \cdot 3)\\
(3\cdot 2-2\cdot 1)&(3\cdot 2-2\cdot 2)&(3\cdot 2-2 \cdot 3)\\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1&-1&-3\\
4&2&0
\end{pmatrix}\\
);

(2) 

&math(m\times n); 行列の転置行列は &math(n\times m); 行列で、&math(A=(a_{ij})); に対して
&math({}^t\!A=(a_{ji})); であるから、

&math({}^t\!A=\begin{pmatrix}
1&4\\ -1&2\\ -3&0
\end{pmatrix}\\
);

(3)

&math(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij});

&math(d_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj});

&math(D=ABC); であれば、&math(d_{ij}=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n a_{ik}b_{kl}c_{lj}); となる。

&math({}^t\!D=(d_{ji}));

&math(d_{ji}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}=\sum_{k=1}^n b_{ki}a_{jk});

&math(b_{ki},a_{jk}); はそれぞれ &math({}^t\!B); の &math((i,k)); 成分、
&math({}^t\!A); の &math((k,j)); 成分に等しいから、右辺は &math({}^t\!B{}^t\!A); の
&math((i,j)); 成分に等しい。

すなわち、&math({}^t\!D={}^t\!(AB)={}^t\!B{}^t\!A);


(4)

&math(
AA^{-1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\,\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}
=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}ad-bc&\cancel{-ab+ab}\\\cancel{cd-cd}&-bc+ad\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
);

&math(
A^{-1}A=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}ad-bc&\cancel{bd-bd}\\\cancel{ac-ac}&-bc+ad\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
);

(5)

&math(
\left(\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i\\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
j&k\\
l&m\\
n&o\\
\end{array}
\right)=
\left(\begin{array}{cc}
aj+bl+cn&ak+bm+co\\
dj+el+fn&dk+em+fo\\
gj+hl+in&gk+hm+io\\
\end{array}\right)
);

一方、

&math(
\begin{pmatrix}
AE+BF\\
CE+DF
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
aj+bl&ak+bm\\
dj+el&dk+em
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
cn&co\\
fn&fo
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
gj+hl&gk+hm
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
in&io
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
aj+bl+cn&ak+bm+co\\
dj+el+fn&dk+em+fo
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
gj+hl+in&gk+hm+io
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
);

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