正規行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する のバックアップソース(No.2)
更新[[線形代数Ⅱ/固有値問題・固有空間・スペクトル分解]] #mathjax * 正規行列 [#v556cbec] 正規行列 &math(A); は &math(AA^\dagger=A^\dagger A); を満たす行列 * 準備：正規行列について $A\bm x=\lambda x$ なら $A^\dagger\bm x=\overline\lambda\bm x$ [#p694137a] &math(A\bm x=\lambda x); のとき、 &math((A-\lambda E)\bm x=\bm 0); であるから、 &math( 0&=\|(A-\lambda E)\bm x\|^2\\ &=\big((A-\lambda E)\bm x,(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A-\lambda E)^\dagger(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A^\dagger-\overline\lambda E)(A-\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A^\dagger A-\overline\lambda A-\lambda A^\dagger+|\lambda|^2E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A A^\dagger-\overline\lambda A-\lambda A^\dagger+|\lambda|^2E)\bm x\big)\\ &=\big(\bm x,(A-\lambda E)(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\big)\\ &=\big((A-\lambda E)^\dagger\bm x,(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\big)\\ &=\|(A^\dagger-\overline\lambda E)\bm x\|^2\\ ); すなわち、 &math(A^\dagger\bm x=\overline\lambda\bm x); * 正規行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する [#pc64d78a] &math(A); が正規行列で、&math(A\bm x=\lambda\bm x,A\bm y=\lambda'\bm y); のとき、 &math( &\big(\bm x,A\bm y\big)=\big(\bm x,\lambda'\bm y\big)=\lambda'\big(\bm x,\bm y\big)\\ &=\big(A^\dagger\bm x,\bm y\big)=\big(\overline\lambda\bm x,\bm y\big)=\lambda\big(\bm x,\bm y\big) ); したがって、 &math((\lambda-\lambda')(\bm x,\bm y)=0); &math(\lambda\ne\lambda'); ならば、&math((\bm x,\bm y)=0); * 質問・コメント [#k1688fd4] #article_kcaptcha
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