スピントロニクス理論の基礎/8-5 のバックアップの現在との差分(No.4)

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#contents

* 8-5 経路順序 Green 関数 (G^^t^^ : time ordered) [#m0b26528]

(8.58), (8.61)

&math(&G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\
&=-i\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}\hbar}\int_C d\textcolor{red}{\tau''}H(\textcolor{red}{\tau''})}c(\bm r,\tau)c^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\
&=-i\Big\langle T_CU_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\
&=-\frac{i}{\red\hbar}\Big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}\hbar}\int_C d\textcolor{red}{\tau''}H(\textcolor{red}{\tau''})}c(\bm r,\tau)c^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\
&=-\frac{i}{\red\hbar}\Big\langle T_CU_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau') \Big\rangle\\
);

これを経路順序(path ordered) Green 関数、あるいは非平衡 Green 関数、あるいは Keldysh Green 関数と呼ぶ。

以下に見るように、
- &math(G^t(\bm r,t,\bm r',t')); および &math(G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t'));
は &math(G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')); を用いて表せる
- &math(G^r(\bm r,t,\bm r',t')); および &math(G^a(\bm r,t,\bm r',t')); 
は直接 &math(G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')); を用いて表せない
-- 新たに導入される
&math(G^<(\bm r,t,\bm r',t')); および &math(G^>(\bm r,t,\bm r',t')); を経由して
間接的に &math(G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')); で表せる

** τ表示から t 表示への変換:time ordered [#cd0f9c63]

(8.56)

&math(
&G^t(\bm r,t,\bm r',t')\\
&=-i\left[
&=-\frac{i}{\red\hbar}\left[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle
-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle
\right]\\
&=-i\Big[
&=-\frac{i}{\red\hbar}\Big[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\
&\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle
\Big]\\
&=-i\Big[
&=-\frac{i}{\red\hbar}\Big[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t)c(\bm r,t)U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle\\
&\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle
&\phantom{=\frac{i}{\red\hbar}[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t_\infty)U(t_\infty,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle
\Big]\\
&= G(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\rightarrow)
);

ここで、&math(t_1<t_2<t_3); のとき、
ここで、&math(t_1 < t_2 < t_3); のとき、

&math(\overline U(t_1,t_2)=\overline U(t_1,t_3) U(t_3,t_2));

&math(U(t_3,t_1) \overline U(t_1,t_2) = U(t_3,t_2));

を用いた。これらは (8.7A), (8.8A), (8.42) により明らかに成り立つ。

** τ表示から t 表示への変換:anti time ordered [#u632ea61]

(8.57)

&math(
&G^{\overline t}(\bm r,t,\bm r',t')\\
&=i\left[
&=\frac{i}{\red\hbar}\left[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\bigr\rangle
-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\bigr\rangle
\right]\\
&=i\Big[
&=\frac{i}{\red\hbar}\Big[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\bigr\rangle\\
&\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle
&\phantom{=\frac{i}{\red\hbar}[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)U(t,t_0)\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')U(t',t_0)\bigr\rangle
\Big]\\
&=i\Big[
&=\frac{i}{\red\hbar}\Big[
\theta(t-t')\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t)c(\bm r,t)\overline U(t,t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle\\
&\phantom{=i[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)\overline U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle
&\phantom{=\frac{i}{\red\hbar}[}-\theta(t'-t)\bigl\langle U_{C_\beta}\overline U(t_0,t)c(\bm r,t)\overline U(t,t')c^\dagger(\bm r',t')\overline U(t',t_\infty)U(t_\infty,t_0)\bigr\rangle
\Big]\\
&= G(\bm r,\tau\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)
);

&math(G^a); や &math(G^r); についてはこのように一筋縄では表せず、
後に出てくる &math(G^<); および &math(G^>); 経由で表すことになる。

** 経路に沿った時間発展 [#f99cd076]

(8.62) は、(8.7A) や (8.8A) のような表式を用いれば、
以下のように非常に直感的に理解することが可能である。

&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau, \tau')\\
=&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)\dots}\Big]\\
=&i\hbar\Big(-\frac{i}{\hbar}H(\tau)\Big)\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)\dots}\Big]\\
=&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)}\dots\Big]\\
=&i\hbar\Big(-\frac{i}{\hbar}H(\tau)\Big)\Big[e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_1)(\tau-\tau_1)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_2)(\tau_1-\tau_2)}\dots\Big]\\
=&H(\tau)U_C(\tau,\tau'));

&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}U_C(\tau', \tau)\\
=&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}\Big[\dots e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_n)(\tau_{n-1}-\tau_n)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau)(\tau_n-\tau)}\Big]\\
=&i\hbar\Big[\dots e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau_n)(\tau_{n-1}-\tau_n)}e^{-\frac{i}{\hbar}H(\tau)(\tau_n-\tau)}\Big]\Big(\frac{i}{\hbar}H(\tau)\Big)\\
=&-U_C(\tau',\tau)H(\tau));

** 経路順序グリーン関数の時間発展 [#e5901222]

(8.63)

&math(&i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}G(\bm r,t,\bm r',t')\\
&=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau')\big\langle
&=\delta(\tau-\tau')\big\langle
U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)\{c(\bm r,\tau),c^\dagger(\bm r',\textcolor{red}{\tau})\}U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\\
&\ \ \ +i[\theta(\tau-\tau')\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau_0)\big\rangle\\
&\ \ \ \phantom{i[}-\theta(\tau'-\tau)\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\\
&=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')\\
&\ \ \ +i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_C d\tau'H(\tau')}[H(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau') \big\rangle);
&\ \ \ +\frac{i}{\red\hbar}\Bigg[\theta(\tau-\tau')\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau_0)\big\rangle\\
&\ \ \ \phantom{\frac{i}{\red\hbar}[}-\theta(\tau'-\tau)\big\langle U_{C_\beta}U_C(\tau_0',\tau')c^\dagger(\bm r',\tau')U_C(\tau',\tau)[H(\tau),c(\bm r,\tau)]U_C(\tau,\tau_0)\big\rangle\Bigg]\\
&=\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')\\
&\ \ \ +\frac{i}{\red\hbar}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_C d{\red{\tau''}}H({\red{\tau''}})}[H(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau') \big\rangle);

この式は (8.33) に合わせて交換関係の中のハミルトニアンを先に出して、符号を反転してある。

(8.64)

(8.30) と同様の手順で

&math(\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)g_0^t(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\textcolor{red}{\hbar}\delta(\tau-\tau') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r'));
&math(\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{\textcolor{red}{\bm r}}^2+\varepsilon_F\right)g_0^t(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\delta(\tau-\tau') \delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r'));

* 質問・コメント [#ub9d8b63]

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**(8.62)式の疑問 [#w794c824]
>[[池田文昭]] (&timetag(2016-08-12T06:35:52+09:00, 2016-08-12 (金) 15:35:52);)~
~
時間をさかのぼる経路の場合この式の符号が変わると思われます。~
この場合(8.53)の微分になりますが、時間tの微分ならこの式は成立しますが、τでの微分は符号が逆になってしまいます。従って(8.63)は成立しなくなります。この場合ハミルトニアン内の生成消滅演算子などが変化して(8.64)式がみたされるようなことになるのでしょうか。~

//

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