線形代数I/小テスト/2006-06-01 のバックアップの現在との差分(No.2)

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[[線形代数I]]

* 問1 [#o987211d]

次の行列の行列式を、列基本変形による三角化を使って求めよ。

&math(\left[ \begin{array}{ccc} 1&3&2 \\ 3&2&4 \\ 2&1&2 \end{array} \right]);

* 解答1 [#p42cdb00]

行方向の基本変形を使い下三角行列にする。

&math(\left| \begin{array}{ccc} 1&3&2 \\ 3&2&4 \\ 2&1&2 \end{array} \right|);

1列目の3倍を2列目から、2倍を3列目から引く。

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-7&-2 \\ 2&-5&-2 \end{array} \right|);

2列目2行目の成分 -7 が嫌なので、3列目の3倍を2列目から引く。

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&-2 \\ 2&1&-2 \end{array} \right|);

2列目の2倍を3列目から引く。

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&0 \\ 2&1&-4 \end{array} \right|);

このように対角成分よりも上がすべてゼロである行列を下三角行列と呼ぶ。

三角行列の行列式は対角成分の積となるので、

&math(= 1 \times -1 \times -4 = 4);

として良い。

なぜなら、対角行列をさらに以下のように変形できることは自明であるため。

3列目を使って1列目、2列目の3行目をゼロにする。(それぞれ 1/2, 1/4 を掛けて足せば良い)

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|);

2列目を使って1列目の2行目をゼロにする。(3を掛けて足せば良い)

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|);

2列目の -1 を外に出す。

&math(= (-1) \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|);

3列目の -4 を外に出す。

&math(= (-1 \times -4) \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);

単位行列の行列式は1である。

&math(= -1 \times -4 = 4);

このようにして得られる答えが三角行列の対角成分の積と同じ値になることは自明である。

* 問2 [#ydd56619]

次の行列の行列式を、列ベクトルを標準基底により展開する方法で求めよ。(転置行列の行列式は
元の行列式と等しくなるはずである)

(1) &math(\left[ \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right]);

(2) &math(\left[ \begin{array}{ccc} a&d&g \\ b&e&h \\ c&f&i \end{array} \right]);

* 解答2 [#l3f30c49]

(1) &math(\left| \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right| .);

&math(= \left| \begin{array}{ccc} a \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + d \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + g \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} b\\e\\h \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);
&math(= \left| \begin{array}{ccc} a \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + d \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + g \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} b\\e\\h \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);

&math(= a \left| \begin{array}{ccc} 1&b&c \\ 0&e&f \\ 0&h&i \end{array} \right| + d \left| \begin{array}{ccc} 0&b&c \\ 1&e&f \\ 0&h&i \end{array} \right| + g \left| \begin{array}{ccc} 0&b&c \\ 0&e&f \\ 1&h&i \end{array} \right| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);
&math(= a \left| \begin{array}{ccc} 1&b&c \\ 0&e&f \\ 0&h&i \end{array} \right| + d \left| \begin{array}{ccc} 0&b&c \\ 1&e&f \\ 0&h&i \end{array} \right| + g \left| \begin{array}{ccc} 0&b&c \\ 0&e&f \\ 1&h&i \end{array} \right|);

&math(= a \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);
&math(+ d \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);
&math(+ g \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);
&math(= a \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);
&math(+ d \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);
&math(+ g \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);

同じ列ベクトルを含む行列の行列式はゼロなので、

&math(= a \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);
&math(+ d \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);
&math(+ g \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .);
&math(= a \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);
&math(+ d \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);
&math(+ g \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);

展開すると(汗

&math(= ae \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&1&f \\ 0&0&i \end{array} \right|);
&math(+ ah \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ db \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 1&0&f \\ 0&0&i \end{array} \right|);
&math(+ dh \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 1&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ gb \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 0&0&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);
&math(+ ge \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 0&1&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);

さらに3列目を展開するのだが、以下のように列の値が同じになると行列式がゼロになることを
利用しないと大変なことになる。

&math(= ae \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & c \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + f \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + i \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) \end{array} \right|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .); ~
&math(= ae \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & c \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + f \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + i \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) \end{array} \right|); ~
&math(+ ah \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ db \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 1&0&f \\ 0&0&i \end{array} \right|);
&math(+ dh \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 1&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ gb \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 0&0&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);
&math(+ ge \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 0&1&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);

&math(ae); の項の 第1項、第2項がゼロになる。したがって、

&math(= aei \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ ah \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ db \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 1&0&f \\ 0&0&i \end{array} \right|);
&math(+ dh \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 1&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ gb \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 0&0&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);
&math(+ ge \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 0&1&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);

他の項も同様にして、

&math(= aei \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ ahf \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);
&math(+ dbi \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ dhc \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);
&math(+ gbf \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{array} \right|);
&math(+ gec \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array} \right|);

元の行列が

&math(\left[ \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right]);

であることに注意すると、出来上がった式は、各列から1つずつ、他の列と重複しない行の成分を
抜き出して積を作り(&math(aei); などの部分)、それに、抜き出した成分の位置だけに1を
立てた行列 (たとえば&math(\left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right]);) の行列式を掛けた形の和になっている。

ここで、&math(\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|=1); 
となるのは定義から明らかであるが、他の行列式の値はどうなるであろうか?

たとえば、

&math(\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);

は、2列目と3列目とを入れ替えれば単位行列になるから、

&math(\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|=-\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|=-1);

である。

同様にして、「何回列を入れ替えたら単位行列にできるか」を数えることにより、

&math(= aei-ahf-dbi+dhc+gbf-gec);

を得る。

(2) 上記と同様にして、

&math(= aei \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ afh \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);
&math(+ bdi \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ bfg \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);
&math(+ cdh \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{array} \right|);
&math(+ ceg \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array} \right|);

&math(= aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg );

を得る。

これは、(1) で得た結果と等しい。

すなわち、3次の正方行列について、&math(|^tA|=|A|); であることが証明された。

* コメント [#i4d163d4]

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