固有値問題・固有空間・スペクトル分解/メモ のバックアップ(No.1)

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線形代数II/固有値問題・固有空間・スペクトル分解

演習の解答

(1) エルミート行列の和はエルミート行列になる

$A,B$ がエルミートであるとすると、

$$(A+B)^\dagger={}^t(\overline{A + B})={}^t(\overline{A} + \overline{B})={}^t\overline{A} +{}^t\overline{B}=A^\dagger+B^\dagger=A+B$$

(2) ユニタリ行列の積はユニタリ行列になる

$A,B$ がユニタリ行列であるとすると、

$$ (AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger=B^{-1}A^{-1}=(AB)^{-1} $$

(3) エルミート行列の積は必ずしもエルミート行列にならない

$A,B$ がエルミートであるとすると、

$$ (AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger=BA $$

これが $AB$ と等しいのは、

$$ BA=AB $$

が成り立つ時に限る。

すなわち、2つのエルミート行列が可換なときに限りその積がエルミートになる。

(4) ユニタリ行列の和はユニタリ行列にならない

$$(A+B)^\dagger={}^t(\overline{A + B})={}^t(\overline{A} + \overline{B})={}^t\overline{A} +{}^t\overline{B}=A^\dagger+B^\dagger=A^{-1}+B^{-1}$$

$$(A^{-1}+B^{-1})(A+B)=E+A^{-1}B+AB^{-1}+E=E$$

となるのは、

$$A^{-1}B+AB^{-1}=A^\dagger B+AB^\dagger=E$$

が成り立つときだけである。


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