射影・直和・直交直和 のバックアップ差分(No.1)

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* ベクトルの成分 [#x61c2758]

ある規格化されたベクトル &math(\bm e); が与えられ、~
別のベクトル &math(\bm x); を 
&math(\bm e); に平行な成分 &math(\bm x_{\parallel}); と、
&math(\bm e); に平行な成分 &math(\bm x_{\perp}); とに分けることを考える。

&math(\bm x=\bm x_{\parallel}+\bm x{\perp});

&math(\bm x_{\parallel}); は &math(\bm e); と平行なので、

&math(\bm x_{\parallel}=x_{\parallel} \bm e); 

と書き直すと、

&math(\bm x=x_{\parallel}\bm e+\bm x{\perp});

両辺に &math(\bm e); を左からかけることで、

&math((\bm e,\bm x)=x_{\parallel});

が得られるので、

&math(\bm x_{\parallel}=(\bm e,\bm x)\bm e);~
&math(\bm x_{\perp}=\bm x-\bm x_\parallel=\bm x-(\bm e,\bm x)\bm e);

としてこれらのベクトルを求められる。

この &math(\bm x_\parallel); を &math(\bm x); の &math(\bm e); 方向成分と呼ぶ。

* 射影演算子 [#c9c77b82]

&math(
\bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e\\
&=\bm e (\bm e,\bm x)\\
&=\bm e \bm e^\dagger \bm x\\
&=P_{\bm e} \bm x
);

ただし、&math(P_{\bm e}=\bm e\bm e^\dagger); と書けば、
この行列は &math(\bm x); から &math(\bm e); 方向成分を取り出す行列となる。


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