一次元箱形障壁のトンネル/メモ のバックアップ差分(No.2)

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* 2重トンネル [#na9b6dec]
* トンネル障壁再考 [#na9b6dec]

https://m-repo.lib.meiji.ac.jp/dspace/bitstream/10291/5021/1/kyouyoronshu_240_17.pdf

を参考にやってみる。

位置 &math(x_1); から始まる、
厚さ &math(a); 高さ &math(V); のトンネル障壁の手前で

 &math(\varphi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}); &math((x<x_1));

直後で、

 &math(\varphi(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}); &math((x_1+a<x));

とすると、障壁内での波動関数は

 &math(\kappa=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2mV_0-\hbar^2k^2});

を用いて

 &math(\varphi(x)=Ee^{\kappa x}+Fe^{-\kappa x}); &math(x_1<x<x_1+a));

と表せることから、両端でなめらかに接続する条件を次の4つの式で表せる。

 (1) &math(\varphi(x_1)=Ae^{ikx_1}+Be^{-ikx_1}=Ee^{\kappa x_1}+Fe^{-\kappa x_1});

 (2) &math(\varphi'(x_1)=ikAe^{ikx_1}-ikBe^{-ikx_1}=\kappa Ee^{\kappa x_1}-\kappa Fe^{-\kappa x_1});

 (3) &math(\varphi(x_1+a)=Ee^{\kappa (x_1+a)}+Fe^{-\kappa (x_1+a)}=Ce^{ik(x_1+a)}+De^{-ik(x_1+a)});

 (4) &math(\varphi'(x_1+a)=\kappa Ee^{\kappa (x_1+a)}-\kappa Fe^{-\kappa (x_1+a)}
                       =ikCe^{ik(x_1+a)}-ikDe^{-ik(x_1+a)});

この4つから &math(E,F); を消去し、&math(C,D); を &math(A,B); で表す。

(2) に &math(\lambda=\kappa/k); を導入すると、

 &math(iAe^{ikx_1}-iBe^{-ikx_1}=\lambda Ee^{\kappa x_1}-\lambda Fe^{-\kappa x_1});

(1) と合わせて、

 &math(
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ee^{\kappa x_1}\\Fe^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}
);

(4) に &math(\lambda=\kappa/k); を導入すると、

 &math(\lambda Ee^{\kappa (x_1+a)}-\lambda Fe^{-\kappa (x_1+a)}
=iCe^{ik(x_1+a)}-iDe^{-ik(x_1+a)});

(3) と合わせて、

 &math(
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
Ee^{\kappa (x_1+a)}\\Fe^{-\kappa (x_1+a)}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\
\end{pmatrix}
);

したがって、

 &math(
\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)}
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\
\end{pmatrix}
);

ここから、

 &math(
&\begin{pmatrix}
Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\
\end{pmatrix}

\\&=
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&=
\frac{1}{4i\lambda}
\begin{pmatrix}
-i&-1\\
-i&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
\lambda&-\lambda\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{\kappa a}&\\&e^{-\kappa a}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\lambda&-1\\
-\lambda&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&=
\frac{1}{4i\lambda}
\begin{pmatrix}
-(i+\lambda)e^{\kappa a}&-(i-\lambda)e^{-\kappa a}\\
-(i-\lambda)e^{\kappa a}&-(i+\lambda)e^{-\kappa a}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-(i+\lambda)&i-\lambda\\
i-\lambda&-(i+\lambda)\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}

\\&=
\frac{1}{4i\lambda}
\begin{pmatrix}
(i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}&
(1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\\
-(1+\lambda^2)e^{\kappa a}+(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}&
-(i+\lambda)^2e^{\kappa a}+(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
);

ここで、

 &math(
\alpha&=\frac{1}{4i\lambda}\Big[(i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\Big]
=\frac{-\overline X}{2i\lambda}
);

 &math(
Y=\frac{1}{4\lambda}\big[(1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\big]
=\frac{1+\lambda^2}{2\lambda}\sinh \kappa a
);

と置けば、

 &math(
\begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\alpha&-iY\\
iY&\overline\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\
);

を得る。

以前の結果から、&math(|X|^2=4\lambda^2(1+Y^2)); すなわち、

 &math(|\alpha|^2=1+Y^2);

 &math(\left|\frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}\right|^2=1);

である。そこで、

 &math(r=|R|=\frac{Y}{\sqrt{1+Y^2}});

 &math(\frac{\alpha}{\sqrt{1+Y^2}}=e^{i\theta});

と置けば、

 &math(
\begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\
);

トンネル問題を考え、&math(A=1, D=0); の下にこれを解けば

 &math(B=R=r\,e^{i2kx_1+i(\theta-\pi/2)}); → 反射波

 &math(
Ce^{ik(x_1+a)}&=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\left(
e^{ikx_1+i\theta}-r^2\,e^{ikx_1+i\theta}
\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}e^{ikx_1+i\theta}\left(
1-r^2
\right)\\
&=\sqrt{1-r^2}\,e^{ikx_1+i\theta}
);

 &math(C=T=\sqrt{1-r^2}\,e^{-ikL+i\theta}); → 透過波

となる。

&math(r=|R|); であり、&math(\theta); は反射波の位相の進みを表す。


これだけだと苦労した意味があまりないので、
トンネル障壁が複数ある場合について考える。

* 2重トンネル [#u0e0b560]

厚さ &math(a); の障壁が &math(b); だけ間を置いて連続して2つあるとする。

障壁前を &math(A,B);、障壁の間を &math(C,D);、障壁の後を &math(E,F); で表せば、

 &math(
&\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
);

 &math(
&\begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}Ce^{ik(a+b)}\\De^{-ik(a+b)}\end{pmatrix}\\
);

より、

 &math(
\begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{1-r^2}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{1-r^2}
\begin{pmatrix}
e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\
ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{1-r^2}
\begin{pmatrix}
e^{ikb+2i\theta}+r^2e^{-ikb}&
-ire^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta}\\
ire^{ikb+i\theta}+ire^{-ikb-i\theta}&
r^2e^{ikb}+e^{-ikb-2i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\
);

&math(A=1,F=0); と置くと、

 &math(
|B|^2
&=r^2\left|\frac{e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}{r^2e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}\right|^2\\
&=\frac{4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\
);

より、透過率は

 &math(
|E|^2=1-|B|^2
&=\frac{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)-4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\
&=\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\
);

となる。

この値は反射率が高く &math(r\sim 1); である場合にも、&math(\cos^2(kb+\theta)=0); 
すなわち &math(kb+\theta=\pi(n+1/2)); 
の条件で透過率が 100% になることを示している。これが共鳴トンネルと呼ばれる現象である。

このとき、2つの障壁に挟まれた井戸の中での確率分布は、

 &math(
&\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta}&-ir\\
ir&e^{-i\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A\\0\end{pmatrix}\\
);

より、

 &math(
&|\varphi(x)|^2=|Ce^{ikx}+De^{-ikx}|^2\\
&=\frac{1}{1-r^2}\Big[1-r^2
-ire^{i2k(x-a)+i\theta}
+ire^{-i2k(x-a)-i\theta}
\Big]\\
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\}\\
);

このとき、

 &math(
|\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\}
);

 &math(
|\varphi(a+b)|^2
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin(2kb+\theta)\\
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2(kb+\theta)-\theta\}\\
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2\pi(n+1/2)-\theta\}\\
&=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta\\
);

となり、位相 &math(\theta); だけ染み出すものの、
ほぼ井戸の両端でゼロになっている。

すなわち、共鳴トンネルの条件は入射波エネルギーが
井戸の準定常状態のエネルギーと一致することが条件となっている。


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