量子力学Ⅰ/固有値と期待値/メモ のバックアップ差分(No.2)

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* 解答:物理量を表わす演算子のエルミート性 [#f4fd82da]

(1)

&math(\begin{array}{lll}
\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\hat f\varphi(x)\,dx
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)f(x)\varphi(x)\,dx\\
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi^*(x)\varphi(x)\,dx
&\hspace{1cm}数値の入れ替え\rule{0pt}{2em}\\
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f^*(x)\varphi^*(x)\varphi(x)\,dx
&\hspace{1cm}f^*(x)=f(x)\rule{0pt}{2em}\\
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(f(x)\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\
&\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(\hat f\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\
\end{array}
);

(2) 

&math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\frac{\PD}{\PD x}\varphi(x)\,dx
&=\underbrace{\Big[\varphi^*(x)\varphi(x)\Big]_{-\infty}^\infty}_{=0}-\int_{-\infty}^\infty\Big(\frac{\PD}{\PD x}\varphi^*(x)\Big)\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\Big(-\frac{\PD}{\PD x}\varphi^*(x)\Big)\varphi(x)\,dx\\
);

(3) 

&math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat p\,\varphi(x)\,dx
&=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{\PD}{\PD x}\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{-i}\varphi(x)\right)^*\frac{\PD}{\PD x}\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\left(-\frac{\PD}{\PD x}\,\frac{\hbar}{-i}\varphi(x)\right)^*\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\PD}{\PD x}\,\frac{\hbar}{i}\varphi(x)\right)^*\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat p\,\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\\
);

(4)

&math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat X^n\varphi(x)\,dx
&=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\hat X\varphi(x)\big)^*\,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n-2}\varphi(x)\,dx\\
&\dots\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_{n}\varphi(x)\big)^*\,\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X^n\varphi(x)\big)^*\,\varphi(x)\,dx\\
);

(5)

&math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,(\hat X+\hat Y)\varphi(x)\,dx
&=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\big(\hat X\varphi(x)+\hat Y\varphi(x)\big)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat X\varphi(x)\,dx
+\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat Y\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx
+\int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi(x)+\hat Y\varphi(x)\big)^*\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\Big[\big(\hat X+\hat Y\big)\varphi(x)\Big]^*\varphi(x)\,dx\\
);

(6)

&math(
\int_{-\infty}^\infty\varphi^*(x)\,\hat X\hat Y\varphi(x)\,dx
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\varphi(x)\big)^*\,\hat Y\varphi(x)\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat Y\hat X\varphi(x)\big)^*\,\varphi(x)\,dx\\
);

任意の &math(\varphi(x)); に対してこれが &math(\int_{-\infty}^\infty\big(\hat X\hat Y\varphi(x)\big)^*\,\varphi(x)\,dx\\); に等しいためには、

&math(\hat Y\hat X=\hat X\hat Y); すなわち &math(\hat X\hat Y-\hat Y\hat X=0); でなければならない。

(7) (1) の通り実数関数 &math(V(x)); の部分はエルミートであるから、
&math(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}=\frac{\hat p^2}{2m}); 
がエルミートであることを示せば、(5) により &math(\hat H); はエルミートになる。

&math(1/2m); はエルミートであり、
また、&math(\hat p); はエルミートであるから &math(\hat p^2); はエルミートである。

&math(\hat p^2); と &math(1/2m); は可換であるから &math(\hat p^2/2m); もエルミートである。

(8)

&math(
\hat p\hat x\varphi(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\big(x\varphi(x)\big)
&=\frac{\hbar}{i}\varphi(x)+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\varphi(x)\\
&=\Big(\frac{\hbar}{i}+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\Big)\varphi(x)\\
&=\Big(\frac{\hbar}{i}+x\cdot\hat p\Big)\varphi(x)\\
&=\Big(\frac{\hbar}{i}+\hat x\hat p\Big)\varphi(x)\\
); 

より、
より、&math(\hat p\hat x-\hat x\hat p=\frac{\hbar}{i});

&math(\hat p\hat x-\hat x\hat p=\frac{\hbar}{i});
あるいは、&math(\hat x\hat p-\hat p\hat x=i\hbar);


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