微分形式

関数空間 †

$n$ 個のパラメータ変数 $x^1,x^2,\dots,x^n$ が動く領域 $U$ を $R^n$ の部分開集合と考え、 $$C^\infty(U)\ \text{は}\ U\to R\ \text{の無限回微分可能な関数の集合である}\tag1$$ とする。すなわち、 $f\in C^\infty(U)$ はパラメータ $(x^1,x^2,\dots,x^n)\in U$ に対して値の定まる滑らかな実数関数である : $f(x^1,x^2,\dots,x^n)\in R$. 自然に定義される和とスカラー倍に対して $C^\infty(U)$ は無限次元の実ベクトル空間となる。

偏微分演算子 †

$f(x^1,x^2,\dots,x^n)\in C^\infty(U)$ に適用可能な演算子として $$\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}: \ C^\infty(U)\to C^\infty(U)\tag2$$ $$\bm\nabla=\big(\partial^i\big) :\ C^\infty(U)\to C^\infty(U)^{\oplus n}\tag3$$ を定義する。($C^\infty(U)^{\oplus n}$ は $n$ 個の $C^\infty(U)$ のベクトルの直積からなる空間)

以下では多次元空間における全微分、偏微分（$\mathrm{grad}=\bm\nabla,$ $\mathrm{div}=\bm\nabla\cdot,$ $\mathrm{rot}=\bm\nabla\times$ 等を含む)の演算を簡単な代数的演算規則のみを使って扱うことを目的に微分形式の考えを取り入れる。

全微分 †

仮想的な $n$ 次元空間 $\mathit\Omega$ を考え $\bm e^1,\bm e^2,\dots,\bm e^n$ をその基底とする。線形演算 $\d:C^\infty(U)\to\mathit\Omega$ を、 $$ \d f=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\bm e^i\in\mathit\Omega\tag4 $$ として定義する。$f=x^i$ とすれば $\d f=\d x^i=\bm e^i$ であるから $\bm e^i$ の代わりに $\d x^i$ を使って、 $$ \d f=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\d x^i=\partial_i f\ \d x^i\in\mathit\Omega\tag5 $$ とも表せる。下付き添え字と上付き添え字がセットで現れる場合に $\sum$ を省略して表す上記のような記法はアインシュタインの記法と呼ばれる。式 (5) を $f$ の全微分と呼ぶ。

$\mathit\Omega=R^n$ と考え $\bm e^1,\bm e^2,\dots,\bm e^n$ をパラメータ空間の基本ベクトル（$\bm e^i$ は $i$ 番目の成分のみを $1$ とする単位ベクトル）と考えれば、 $$ \d f=\bm\nabla f\tag6 $$ であるから、全微分は勾配（$\mathrm{grad}$）に対応する量となる。

全微分に代表される $\mathit\Omega$ の任意の元、すなわち $dx^i$ の一次結合を１次微分形式と呼ぶ。 $$ \text{(１次微分形式)}=\sum_i f_i(x^1,x^2,\dots,x^n) \d x^i\in\mathit\Omega\tag7 $$ ここで $f_i(x^1,x^2,\dots,x^n)\in C^\infty(U)$ である。

抽象パラメータ空間 †

$(x^i)\in U$ を変数変換して、$(x^i)$ とは異なるパラメータ変数 $(y^i)\in V$ を作る。両者は可逆な $C^\infty$ 写像により相互に変換可能であるとする。すなわち、 $$ y^i=y^i(x^1,x^2,\dots,x^n) \in C^\infty(U)\tag{8a} $$ かつ $$ x^i=x^i(y^1,y^2,\dots,y^n)\in C^\infty(V)\tag{8b} $$ である。 このときパラメータ領域 $U$ と $V$ は微分同相であると言われる。

$y^i$ の全微分は $$ \d y^i=\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j} \d x^j\tag9 $$ であるが、写像の可逆性により $(\d x^i)$ から $(\d y^i)$ への変換行列（ヤコビアン） $$ P=\Big(p_{ij}\Big)=\Big(\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\Big)\tag{10} $$ は正則でなければならない。したがって $(\d x^j)$ が $\mathit\Omega$ の基底であれば $(\d y^i)\in\mathit\Omega$ もまた $\mathit\Omega$ の基底となる。

このとき、 $$ \begin{aligned} \sum_i \frac{\partial f}{\partial y^i}\d y^i&=\sum_i\sum_j\frac{\partial f}{\partial y^i}\frac{\partial y^i}{\partial x^j} \d x^j=\sum_j\Big(\sum_i\frac{\partial f}{\partial y^i}\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\Big) \d x^j\\ =&\sum_j\frac{\partial f}{\partial x^j} \d x^j=\d f \end{aligned}\tag{11} $$ となるから、すなわち $f(x^1,x^2,\dots,x^n)=f(y^1,y^2,\dots,y^n)$ の全微分演算 $\d:\ C^\infty(U)\to\mathit\Omega$ は、

$$ \d f=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\d x^i=\sum_i \frac{\partial f}{\partial y^i}\d y^i\in\mathit\Omega\tag{12} $$ のようにパラメータの選び方に依らず一意に定義される。この意味で $\mathit\Omega$ は具体的なパラメータ空間 $U$ や $V$ を統一的に見るための抽象パラメータ空間の役割を果たす。

ウェッジ積 †

$Ω$ のベクトルを元にしてウェッジ積 $\wedge$ を定義する。これはベクトルの「外積」にあたる概念であり、例えば $\d x^i\wedge \d x^j$ は２つのベクトル $\d x^i$ と $\d x^j$ が張る平面の面積の長さを持つ法線ベクトルをイメージしたもの、より一般に $k<n$ に対して $\d x^1\wedge \d x^2\wedge\dots\wedge \d x^k$ を作ればこれは $k$ 個のベクトルが張る「$k$ 次元体積」を長さとし、$k$ 個のベクトルすべてに直交する方向を向くベクトルをイメージしたものである。$k$ 個のベクトルが一次従属な場合にはすべて集めても $k$ 次元の体積を張らないので、「つぶれてしまう結果」体積はゼロになる。掛ける順番を入れ替えると「すべてに直交する」２つの方向のうちどちらを向くかが反転する : $\d x^j\wedge \d x^i=-\d x^i\wedge \d x^j$。

ウェッジ積 $\wedge$ は結合律 $(x\wedge y)\wedge z=x\wedge (y\wedge z)$、分配率 $x\wedge (y+z)=x\wedge y+x\wedge z$ を満たし、また、任意の $x\in\mathit\Omega$ に対して $x\wedge x=0$ を満たすものとする。すると任意の $x,y\in\mathit\Omega$ に対して $x+y\in\mathit\Omega$ であるから、 $$ \begin{aligned} (x+y)\wedge(x+y)&=0\\ &=\cancel{x\wedge x}+y\wedge x+x\wedge y+\cancel{y\wedge y}\\ &=y\wedge x+x\wedge y\\ \end{aligned}\tag{13} $$ より $y\wedge x=-x\wedge y$ が導かれる（順番を変えると反対向きになる）。 ウェッジ積 $\wedge$ の記号はしばしば省かれ $x\wedge y$ は単に $xy$ と書かれる。

$k$ 次微分形式 †

$\mathit\Omega$ の $n$ 個の基底 $\d x^1,\d x^2,\dots,\d x^n$ から $k$ 個を取り出してウェッジ積により掛け合わせ $\d x^{i_1}\d x^{i_2}\dots\d x^{i_k}$ を作ることを考える。$i_1,i_2,\dots,i_n$ に同じ数字が表れればゼロになること、数字が表れる順番のみが異なるものは符号を変えつつ入れ替えられること、により、このようにして作られる線形独立な積は $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}={}_nC_k$ 通りとなる。この $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ 個を基底とみなし、適当な $C^\infty(U)$ 関数を係数としてかけて和を取ったものの集合 $\Omega^k(U)$ の元を $k$ 次微分形式と呼ぶ（$C^\infty(U)$ 上の階数 $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ の自由加群となる）。$k=1$ であれば上で定義した１次微分形式と同等であるから $\Omega^1(U)=\mathit\Omega$ であり、$k=0$ は単なる $C^\infty(U)$ 関数であるから $\Omega^0(U)=C^\infty(U)$ である。

例: $a=a_1 \d x^1 + a_2 \d x^2,\ b=b_1 \d x^1 + b_2 \d x^2\in\Omega^1(U)$ とすれば、 $$ ab=a_1b_2\d x^1\d x^2+a_2b_1\d x^2\d x^1=(a_1b_2-a_2b_1)\d x^1\d x^2\tag{14} $$ のように外積的な計算となる。

例: $a=a_1 \d x^1 + a_2 \d x^2+a_3\d x^3\in\Omega^1(U),$ $b=b_{23} \d x^2\d x^3 + b_{31} \d x^3\d x^1+b_{12} \d x^1\d x^2\in\Omega^2(U)$ とすれば、 $$ ab=(a_1b_{23}+a_2b_{31}+a_3b_{12})\d x^1\d x^2\d x^3\tag{15} $$ のように内積的な計算となる。

例： $a=\d x^1\d x^2+\d x^3\d x^4$ は $$ \begin{aligned} aa&=\d x^1\d x^2\d x^3\d x^4+\d x^3(\d x^4\d x^1)\d x^2\\ &=\d x^1\d x^2\d x^3\d x^4-(\d x^3\d x^1)\d x^4\d x^2\\ &=\d x^1\d x^2\d x^3\d x^4+\d x^1\d x^3(\d x^4\d x^2)\\ &=\d x^1\d x^2\d x^3\d x^4-\d x^1(\d x^3\d x^2)\d x^4\\ &=\d x^1\d x^2\d x^3\d x^4+\d x^1\d x^2\d x^3\d x^4\\ &=2\d x^1\d x^2\d x^3\d x^4\ne 0\\ \end{aligned}\tag{16} $$ であり、 $a\not\in\mathit\Omega$ の場合には $a\wedge a\ne 0$ となりうることに注意が必要である。

参考: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0

外微分作用素 †

線形演算 $\d:\ \Omega^k(U)\to\Omega^{k+1}(U)$ を、 $$ \d(\alpha\wedge\beta)=(\d\alpha)\wedge\beta+(-1)^p\alpha\wedge\d\beta\tag{17} $$ として定義する。ここで、$\alpha\in\Omega^p(U),\,$$\beta\in\Omega^q(U),\,$$\alpha\wedge\beta\in\Omega^{p+q}(U),\,$$\d(\alpha\wedge\beta)\in\Omega^{p+q+1}(U)$ である。 また、$\d x^i\in\Omega^1(U)$ に対しては、 $$ \d(\d x^i)=0\tag{18} $$ とする。

例：

• $\d(f)=\d f$
• $\d(fg)=\d f\cdot g+f\cdot \d g$
• $\d(f\d x)=\d f\d x+f\cancel{\d(\d x)}=\d f\d x$

全微分と同様に、外微分作用素 $\d$ はパラメータの取り方に依らず一意に定義される。

例： $L(q,\dot q)$ を $H(q,p)=p\,\dot q(q,p)-L(q,\dot q(q,p))$ ただし $p=\frac{\partial L}{\partial\dot q}\Big|_{q}$ にルジャンドル変換することを考える。$x^1=q,x^2=\dot q$、$y^1=q,y^2=p$ として $L$ の全微分を作れば、 $$ \begin{aligned} \d L&=\frac{\partial L}{\partial x^1}\d x^1+\frac{\partial L}{\partial x^2}\d x^2=\frac{\partial L}{\partial q}\bigg|_{\dot q}\d q+\frac{\partial L}{\partial \dot q}\bigg|_q\d \dot q=\dot p\d q+p\d \dot q\\ &=\frac{\partial L}{\partial y^1}\d y^1+\frac{\partial L}{\partial y^2}\d y^2=\frac{\partial L}{\partial q}\bigg|_p\d q+\frac{\partial L}{\partial p}\bigg|_q\d p \end{aligned}\tag{19} $$ 途中、ラグランジュの運動方程式 $$ \dot p=\frac{\partial L}{\partial q}\bigg|_{\dot q}\tag{20} $$ を用いた。式 (19) において、 $$\frac{\partial L}{\partial q}\bigg|_{\dot q}=\dot p\ne \frac{\partial L}{\partial q}\bigg|_{p}\tag{21}$$ であることに注意が必要である。偏微分はどの変数で微分するかと同じくらい、どの変数を固定するかが重要なのである。とはいえ、外微分 $\d$ を $g$ に作用させ、$f$ に対しては $x^1,x^2$ に対する全微分を取れば、 $$ \begin{aligned} \d H&=\d(p\dot q)-\d L\\ &=\dot q \d p+\cancel{p\d \dot q}-\bigg(\dot p\d q+\cancel{p\d \dot q}\bigg)\\ &=\dot q \d p-\dot p\d q\\ &=\frac{\partial H}{\partial p}\bigg|_q\d p+\frac{\partial H}{\partial q}\bigg|_p\d q \end{aligned}\tag{22} $$ したがって、 $$ \frac{\partial H}{\partial p}\bigg|_q=\dot q,\ \ \frac{\partial H}{\partial q}\bigg|_p=-\dot p\tag{23} $$

のように、自動的に(?) $p,q$ に対する全微分（ハミルトンの運動方程式）が得られる。演算規則を正しく適用する限り正しい結果が得られる、というのは非常に便利である。