線形代数Ｉ/教科書定理/２．１０

定理２．１０ †

線形写像が１対１であることと、その核がゼロベクトルのみを含むこと、 すなわち とは同値である。

証明１（教科書のもの） †

まず線形写像の核は必ずゼロベクトルを含むことを示す。

なぜならベクトルと線形写像の性質から、

であるが、両辺に を加えると、

つまり、 となる。

ところが、 が１対１写像であれば は を意味するので、 はゼロベクトル以外の要素を含まない。

逆に、 であるとすると、

を変形して

より、

すなわち

を導くことができ、この対偶として が１対１写像であること が示される。

証明２ †

線形写像 が１対１である

の定義は

であるような について である

ということであった。これを数学的に書けば

となるが、これの対偶は

である。

さらに両辺を変形すると、

と置けば、

これは と同値である。

途中の変形はすべて同値変形であるから、定理は証明された。