相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存
相似変換 †
正則行列 を用いた の変換:
相似変換は階数、トレース、行列式、固有値を保存する †
- 階数:
- トレース:
- 行列式:
- 固有方程式:
- 固有値は固有方程式の解
階数 †
任意の正則行列 に対して であるから、
トレース †
行列のトレースは、対角要素の和で定義されるのであった。
まず、トレースはかけ算の入れ替えで変化しない。
なぜなら、 より、
したがって、
行列式 †
と を用いて、
固有方程式 †
行列式の性質を使って、
固有値 †
固有方程式の解が固有値だから、固有方程式が等しければ当然固有値も等しくなる。
質問・コメント †
トレースについて †
kouki? ()
トレースが掛け算の入れ替えについて不変であるのは、一般にはあくまで二つの行列に対してであるので、
tr{P^(-1)AP}=tr{PP^(-1)A}=tr(EA)=tr(A)
とすべきかと思います。結果は同じですが。
- ありがとうございます、ご指摘の通りです。本文を修正いたしました。 -- 武内(管理人)?
線形代数のテスト †
chihiro? ()
明日、線形代数のテストがあるんですけど、最低押さえておけば良いところうを教えてください。
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