直交座標との対応 †
微分の変換 †
ある関数
について、
が微小量
だけ変化すると、
が
だけ変化するとする。
一方、
が
変化すれば
もそれぞれ
だけ変化するとする。
このとき、
したがって、
同様にして、
さらに計算を進めるには、
などを求める必要がある。
演習:偏微分の計算 †
以下、全微分と異なり一般に
であることに注意せよ。
(1)
の関係を用いて、
を
で書き表せ。
(2)
の関係を用いて、
を
で書き表せ。
(3)
の関係を用いて、
を
で書き表せ。
● 解答はこちら
上記結果を代入すれば、
球座標のラプラシアン †
に上記を代入すれば求まる! ・・・ 実際やってみると非常に大変。→ 計算の詳細
結果だけまとめると、
ただし、
球座標の角運動量演算子 †
原点中心の角運動量
に相当する角運動量演算子は
となるのであった。
これを球座標表示にするのも、原理的には単に代入すればよい。が、やはり計算は大変 → 詳細はこちら
全角運動量は、
このほかに、
も有用な演算子となることを後に見る。