別解 †
2次元の極座標表示を利用すると少し楽らしい。
https://twitter.com/Paul_Painleve/status/995843040244711424
2次元の極座標:
より、
などを使って、
なので、
を得る。これ自体有用な式なのだけれど、球座標系の計算にどう使うかというと、
から
平面に垂線を下ろした点と原点との距離を
と書き、
の2段階の変数変換を考える。1段目は、
であるから、上記を参考に、
を得る。一方、2段目は、
であるから、上記を参考に、
辺々加えると、
の項は打消し合って、
2次元の
の計算結果から、
なので、
として、上で得たのと同じ結果が得られる。
これはこれで大変だけれど、完全に力ずくでやるより見通しが良い。
こちらもとても参考になる †
http://irobutsu.a.la9.jp/PhysTips/Lap.html
「第1の方法:変分法を使え。」において †
に対する
の変化量はそれぞれ、
で、互いに直交するから、
これらの方向に
軸を取るのと比べれば、第一感では
などとなりそうなところ、実際には
のように余計な因子が紛れ込むのだが、上記のリンク先ではラプラシアンが
の形に導かれる。
「1回目の微分」をした後に体積素
の係数
を掛け、「2回目の微分」をした後に同じ値で割る形になっている。
これは覚えやすい。
「第2の方法:ちゃんと基底ベクトルも微分しろ。」において †
から
のように計算する際、
は直交するため一見すると
となりそうなところ、上記リンク先では
のように、
自体が
の関数であることを考慮しなければならないことを指摘し、
の項から
の項から
がもう1つ
の項から
がそれぞれ出ることにより、正しいラプラシアンが得られることを示している。