ある位置に局在する、有限の運動量を持つ波束 †
LANG:mathematica
k = 10
ParametricPlot3D[
{Re[Exp[I k x] Exp[-x^2]], Im[Exp[I k x] Exp[-x^2]], x},
{x, -5, 5}, BoxRatios -> {1, 1, 3}, PlotRange -> Full,PlotStyle->{Thick,Blue}
]
Plot[
{Re[Exp[I k x] Exp[-x^2]], Exp[-x^2], Re[Exp[I k x] ]},
{x, -5, 5}, PlotRange -> Full,PlotStyle->{{Thick},{Thin},{Thin}}
]
平面波の重ね合わせで波束を作る †
LANG:mathematica
Table[With[{k0 = 20, s = 16},
GraphicsGrid[{{
ListPlot[Table[{x + k0, Exp[-x^2/s]}, {x, -m, m}],
PlotRange -> {{k0 - 16, k0 + 16}, {-0.1, 1.1}},
BaseStyle -> {FontSize -> 20},
PlotLabel -> e^(-(k - Subscript[k, 0])^2/s)]}, {
Plot[
Sum[Cos[(k0 + n) x] Exp[-n^2/s], {n, -m, m}]/
Sum[Exp[-n^2/s], {n, -m, m}], {x, -3 Pi, 3 Pi},
PlotRange -> {-1, 1},
PlotPoints -> 100, BaseStyle -> {FontSize -> 20},
PlotLabel -> \[CapitalSigma] e^(-(k - Subscript[k, 0])^2/
s) Cos[k x]]
}}, ImageSize -> {800, 1000}]
], {m, 0, 15, 1}];
Export["wavepacket.gif", %, "GIF"]
最小波束の時間発展 †
指数部を整理すると、
2項目以降は、
であるから、
ただし、
、
このとき、
群速度の導出 †
が主に
にのみ値を持つものとし、
さらにこの範囲で
と近似できるならば、
したがって、ある複素関数
に対して、
と書ける。すなわち、
の包絡線は群速度
で移動する。
一方、
の持つ位相により多少の変化を受ける物の、
全体としての位相速度は
の前の係数部分
により決まり、
となることも分かる。
群速度と位相速度 †
LANG:mathematica
F[x_, t_, k_, s_, h2m_] :=
Sqrt[Sqrt[2 Pi] s (1 + I h2m t / s^2)]^(-1)
Exp[(-x^2/(2 s)^2 + I (k x - k^2 h2m t))/(1 + I h2m t / s^2)]
Animate[
Plot[
Re[F[x, {t, 0, 2}, 5, 0.7, 1]] // Evaluate, {x, -2, 30},
PlotRange -> {-0.7, 0.7}, PlotPoints -> 200
],
{t, 0, 2}
]