電磁気学/場の概念

静電気 †

• 下敷きで髪の毛をこすると力（引力）を生じる
• 力の大きさは
  • 距離の二乗に反比例する
  • こする回数でも変化する

こすると「電荷」を生じると考える

• こする回数 ∝ 生じた電荷量　？

電荷 †

これも目に見えないので、間に働く力で定義する

例えば「1 m 離して 1 N の力を生じる電荷」などとして電荷を計量できる。

通常は電荷 $e$ と $e'$ が $R$ だけ離れているときに両者の間に働く力を次のように表せるものとする。

　$\displaystyle F=k\frac{ee'}{R^2}$　ただし、$\left\{\begin{array}{ll}F>0&なら斥力\\F<0&なら引力\\\end{array}\right .$

これが電荷の単位を決める定義式になる（$k$ を決めれば）。
「単位長さ離した時に力 $k$ が働く電荷量を電荷の単位とする」と理解せよ。

SI単位系では $\displaystyle k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ と置く。 $\epsilon_0\sim 8.85\times 10^{-12}\,\text{Nm}^2/\text{C}^2$ は真空の誘電率。

電場の定義 †

ある点に電荷を置くと「置いた電荷に比例した力」を受ける
→ その比例定数を「電場」と呼ぶ

点 $(x,y,z,t)=(\bm x,t)$ における電場
$\bm E(x,y,z,t)=\bm E(\bm x,t)$ は、

その点に電荷 $e$ を置いたら

$\bm F=e\bm E(\bm x,t)$

の力を生じるようなベクトル場

として定義される。

• 「電荷が電荷へ力を及ぼす」でいいところを、
  「電荷が電場を生じ、電場が電荷へ力を及ぼす」と考える
• 静電場では「電場の重ね合わせ」は「力の重ね合わせ」に通じ、 ワンクッション置くことには計算を簡単にする程度の意味しかない
• 動電場では「空間を電場の伝わる速度が有限（＝光速）であること」が重要になるため、電場無しでは話が進まない → 電磁波など

磁場の定義 †

ここで言う「磁場」は、正確に言えば「磁束密度」のことである。

電場 $\bm E(\bm x,t)$ を「電荷に及ぼす力」で定義したのと同様に、
磁束密度 $\bm B(\bm x,t)$ は「電流に及ぼす力」で定義する。
ただ、磁場と電流との間の力は電場と電荷に比べると少しややこしい。

• 磁場中に電流があると、力を生じる（ことがある）
  • 力の大きさは磁場、電流の両方に比例する
    • ところが、両者のなす角 $\theta$ にも依存する ($\sin\theta$)
  • 力の向きは、磁場、電流の両方に垂直である

右図は磁場 $\bm B$ 中に仮想的な棒状の電流 $\bm I$ が置かれた様子。 電流には $\bm B$ と $\bm I$ に垂直な力 $\bm F$ がかかる。

式で書くと、

$$\begin{aligned} \bm F&\propto\bm I\times\bm B\\ &\propto|I||B|\sin\theta \end{aligned}$$

力は電流の流れる長さにも比例するため、次式が磁場の定義となる。

$$ \bm F=\bm I\times\bm B\ l $$

外積はかけ算の順番を入れ替えると符号が変わるので、掛ける順番にも注意せよ。