線形代数II/抽象線形空間/メモ の履歴ソース(No.2)
更新[[線形代数II/抽象線形空間]] * 演習 [#ub6c451d] &math(x);の2次以下の実係数多項式の集合 &math(P^2[x]); が線形空間の公理を満たすことを確かめよ。 * 解答例 [#m0f4f62c] &math(\bm x\in P^2[x]); であれば、&math(s,t,u\in \mathbb R); を用いて &math(\bm x=sx^2+tx+u); の形に表せる。 さらに &math(\bm y=s'x^2+t'x+u',);&math(\bm z=s''x^2+t''x+u''); ただし &math(s',t',u',s'',t'',u''\in \mathbb R);、 &math(a,b\in \mathbb R); とすると、 1. ベクトル和の交換則 >&math(\bm x+\bm y&=(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')\\ &=(s'x^2+t'x+u')+(sx^2+tx+u)=\bm y+\bm x); 2. ベクトル和の結合則 >&math( &(\bm x+\bm y)+\bm z\\ &=\big\{(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')\big\}+(s''x^2+t''x+u'')\\ &=(sx^2+tx+u)+\big\{(s'x^2+t'x+u')+(s''x^2+t''x+u'')\big\}\\ &=\bm x+(\bm y+\bm z)); 3. ゼロ元の存在 >&math(\bm 0=0=0x^2+0x+x=\in P^2[x]); と置けば、 任意の &math(\bm x=sx^2+tx+u); に対して~ &math(\bm 0+\bm x=0+sx^2+tx+u=sx^2+tx+u=\bm x);~ &math(\bm x+\bm 0=sx^2+tx+u+0=sx^2+tx+u=\bm x); 4. スカラーの単位元 >&math(1\in\mathbb R); に対して、任意の &math(\bm x=sx^2+tx+u); に対して &math(1\bm x=1(sx^2+tx+u)=sx^2+tx+u=\bm x); 5. 逆元の存在 >&math(-\bm x=-sx^2-tx-u\in P^2[x]); に対して &math(\bm x+(-\bm x)=sx^2+tx+u-sx^2-tx-u=0=\bm 0); 6. 分配法則(1) >&math( &(a+b)\bm x=(a+b)(sx^2+tx+u)\\ &=a(sx^2+tx+u)+b(sx^2+tx+u)\\ &=a\bm x+b\bm x); 7. 分配法則(2) >&math( &a(\bm x+\bm y)\\ &=a\big\{(sx^2+tx+u)+(s'x^2+t'x+u')\big\}\\ &=a(sx^2+tx+u)+a(s'x^2+t'x+u')\\ &=a\bm x+a\bm y); 8. スカラー倍の結合法則 >&math(a(b\bm x)=a\big\{b(sx^2+tx+u)\big\}=(ab)(sx^2+tx+u)=(ab)\bm x); ベクトルの和やスカラー倍に要求される性質が、実数の和や積の公理(交換法則や結合法則、分配法則など)により保証されていることを実感せよ。
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