ベクトル空間と線形写像 の履歴(No.5)

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線形代数Ｉ

ベクトルとは？†

  • 縦数ベクトル： \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}
  • 横数ベクトル： \begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}
  • 幾何ベクトル： \overrightarrow{\rm AB}
  • そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる

直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと１対１に対応させられる。

ベクトル空間とベクトル†

上記のように、

  • k\bm a (スカラー倍)
  • \bm a+\bm b (和)

が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、
その要素を「ベクトル」と言う。

詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。

集合について†

集合とは　：　「要素」を含む物

集合については、ある要素を含むか、含まないか、が主な興味となる。

A,B を集合、 x を要素とすると、

  • A=\{x_1,x_2,x_3\} ： A は x_1,x_2,x_3 の３つの要素からなる集合である
  • x \in A ： x が A に含まれる
  • A \subseteq B ： x \in A なら x \in B である
    • すなわち A が B に含まれる
    • あるいは A が B の部分集合である
  • A \subset B ： A \subseteq B かつ A\ne B

演算が「内部で定義されている」ということ†

たとえば、 A=\left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}\right\} という集合を考える。

これは２つのベクトルを含む「ベクトルの集合」であるが、スカラー倍や和に対して「閉じていない」。

例： \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix} \notin A

したがって、こういう集合はベクトル空間とは言わない。

n 次元数ベクトル空間†

  • 実数の集合を \mathbb{R}
  • n 次元（縦）実数ベクトル空間を \mathbb{R}^n

と書くことにする。

以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを

  • 複素数の集合 \mathbb C
  • n 次元複素数の集合 \mathbb C^n

に置き換えても、すべての定理が成立することに注意せよ。

１次結合（線形結合）†

c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \sum_{k=1}^r c_k\bm a_k

の形を \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r の「一次結合」と言う。

例１：

\bm a, \bm b の一次結合： 3\bm a+\bm b , \bm a-\bm b , -2\bm a

例２：

\bm b を \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r の一次結合で表せるか？という問題は、

\bm b=x_1\bm a_1+x_2 \bm a_2+ \dots+x_r \bm a_r = \Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_r\Bigg]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_r\end{bmatrix}=A\bm x

を満たす \bm x は存在するか？という問題と同値である。

例３：

任意のベクトル \bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n は、 基本ベクトル \bm e_1, \bm e_2, \dots, \bm e_n の一次結合として、

\bm a=\sum_{k=1}^ra_k\bm e_k

と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。

一次結合で生成される集合†

直線の方程式†

ある \bm a に対して、 \bm p=s\bm a を満たす点の集合は原点を通り \bm a に平行な直線となる。

（ \bm a = \bm o だとそうならない）

平面の方程式†

ある \bm a,\bm b に対して、 \bm p=s\bm a+t\bm b を満たす点の集合は原点を通り \bm a,\bm b に平行な平面となる。

（ \bm a= \bm o あるいは \bm b= \bm o あるいは \bm a \parallel \bm b だとそうならない）

空間を満たす†

ある \bm a,\bm b,\bm c に対して、 \bm p=s\bm a+t\bm b+u\bm c を満たす点の集合は３次元空間を満たす。

（ \bm a= \bm o , \bm c= c_1\bm a+c_2\bm b , その他例外もある）

張る空間†

\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n の一次結合で表せるベクトルの集合を これらのベクトルが張る空間と呼ぶ。

和やスカラー倍について閉じているので、これはベクトル空間になる。

n 本のベクトルは多くの場合 n 次元空間を張るが、例外もある。

「例外」をうまく表現するために「一次独立」という概念を導入する。

一次独立†

与えられた \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r に対して、 c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \bm o となるのが、 c_1=c_2=\dots=c_n=0 の時しかありえないなら、 「 \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r は１次独立である」と言う。

  • どんなベクトルが与えられても c_1=c_2=\dots=c_n=0 なら条件を満たすこと
  • 与えられたベクトルによっては c_1=c_2=\dots=c_n=0 でなくても条件を満たすこと

に注意せよ。

例： 2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=\bm o

一次従属†

一次独立でないことを「一次従属である」と言う。

例： \bm a,\bm b,\bm c は一次独立か、一次従属か？

例： \bm a,\bm b,\bm c が一次従属であるとき・・・

一次独立と行列の階数†

一次独立であるという条件と、

\Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Bigg]\bm x=\bm o の解が \bm x=\bm o しか存在しないという条件は同値。

方程式の一般解が１以上の自由度を持つ、とも同値だから （ \bm x=\bm o は常に解であることに注意）、

  • \bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r が一次独立
  • それらを並べた行列 A の階数が列数 n より小さい (\rank A<n)

が同値な条件となる。

一次独立かどうかを調べるには rank を求めてベクトルの数と比べればよい。

例： \begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\2\\a\end{bmatrix} が一次独立になる条件を求めよ。

\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&a\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&-3&-2\\0&-2&a-4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&-2a+6\\0&-2&a-4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&-2a+6\\0&0&-3a+8\end{bmatrix}

したがって、 a=8/3 の時に一次従属であり、そうでなければ一次独立となる。

A が正方の時†

以下の条件は同値である。

  • \bm a_1,\bm a_2, \dots,\bm a_n が一次独立
  • A\bm x=\bm o の解が \bm x=\bm o のみ
  • \rank A=n
  • A が正則
  • |A|\ne 0

一次独立かどうかを調べるには |A| を計算すればよい。

一次独立の重要な性質†

● ゼロベクトルを１つでも含めば一次従属

● \bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n が一次従属なら、そこにいくつかベクトルを加えた \bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n,\bm a_{n+1},\dots,\bm a_{m} も一次従属である

∵はじめの n 列のうち１列でも掃き出せなければ、 全体の rank が列数よりも小さくなるため。

（別） c_1\bm a_1+c_2\bm a_2+\dots+c_n\bm a_n=\bm o となる非ゼロの係数が存在するなら、
c_1\bm a_1+c_2\bm a_2+\dots+c_n\bm a_n+0c_{n+1}+\dots+0c_m=\bm o であり、 この係数は全てがゼロではないから、全体も一次従属となる。

● \{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n\} が一次独立なら その部分集合も一次独立である

∵上の定理の対偶になっている

● n 次元ベクトルを n 本以上集めたら必ず一次従属になる

∵対応する行列 A のランクは行数 n より大きくならないから。

● 一次独立と「張る空間」

  • n 本のベクトルが一次独立ならば、その一次結合は n 次元空間を張る
  • ベクトルが n 本あってもそれらが一次従属ならば、その一次結合が n 次元空間を張ることはない
    （ n' 次元 (n'<n) を張ることになる）

線形空間（ベクトル空間）†

線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Ｉでは上で扱った程度に止める。

線形写像と表現行列†

\bm a\in \mathbb R^n を与えると \bm a'\in \mathbb R^m を返すような関数 f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m を考える。

すなわち \bm a'=f(\bm a)

f は様々な物が考えられるが、任意の \bm a に対して、必ず１つだけ \bm a' が決まることが重要である。このようなベクトルの関数を「写像」と呼ぶこともある。

例：

\bm a=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in \mathbb R^2 , \bm a'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}\in \mathbb R^3 の時、例えば

\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=f(\bm a)=\begin{bmatrix}2+x\sin y\\2^y\end{bmatrix}

として定義される f は、 x,y を１組決めれば x',y',z' が決まるため、 \mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^3 の写像となる。

線形写像†

ある写像 f が線形であるとは、任意の \bm a, \bm b\in \mathbb R^n および c\in \mathbb R に対して、

  • f(\bm a+\bm b)=f(\bm a)+f(\bm b)
  • f(c\bm a)=cf(\bm a)

が成り立つことを言う。

  • f(x) は線形か？ という問には f(a\bm x+b\bm y)=af(\bm x)+bf(\bm y) を確かめればよい

すぐ分かるように

  • f(\bm o)=\bm o
    \because f(\bm o)=f(0\bm o)=0f(\bm o)=\bm o
  • f(-\bm a)=-f(\bm a)

となる。

線形写像は f(x)=Ax の形に書ける†

スカラー関数 f(x) が線形ならば、 f(x)=f(x\cdot 1)=xf(1)=f(1)x であるから、 f(1)=A と置くことで f(x)=Ax の形に書けることが分かる。

同様に、 f(\bm x) が線形なら f(\bm x)=A\bm x と書ける。

∵ 任意のベクトルを \bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^nx_i\bm e_i として基本ベクトルの和で表せば、

f(\bm x)=f(\sum_{i=1}^nx_i\bm e_i)=\sum_{i=1}^nx_if(\bm e_i)

そこで、 \bm a_i=f(\bm e_i)\in \mathbb R^m と置けば、

f(\bm x)=\sum_{i=1}^nx_i\bm a_i=\Bigg[\begin{matrix}\bm a_1&\bm a_2&\cdots&\bm a_n\end{matrix}\Bigg]\bm x=A\bm x

逆に f(\bm x)=A\bm x と書ければこれは必ず線形となる。

  • A を f(\bm x)=A\bm x の表現行列と呼ぶ
  • f(\bm x)=A\bm x を A の定める線形写像と呼ぶ

例： 次の条件を満たす線形写像 f(\bm x) の表現行列を求めよ。

f\left(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}

f\left(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}

(解答)

\left\{\begin{matrix}A\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}\\A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\end{matrix}\right.

より、

A\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}

A=\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}^{-1}

=\frac{1}{3\cdot 1-1\cdot 2}\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\-2&3\end{bmatrix}^{-1}

=\begin{bmatrix}-9&13\\-1&3\end{bmatrix}

合成写像†

f(\bm x):\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m

g(\bm y):\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^l

のとき、その合成写像を定義できる。

h(\bm x)=g\!\circ\!f(\bm x)=g\left(f(\bm x)\right):\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^l

（ h=g\!\circ\!f などと書く）

その表現行列は、

f(\bm x)=A\bm x,g(\bm y)=B\bm y であれば、 g\!\circ\!f(\bm x)=BA\bm x より BA である。

例：

２次元ベクトル \bm x\in \mathbb R^2 をｘ座標方向に３倍してから反時計回りに４５度回転する線形写像を考える。

ｘ方向に３倍する： f(\bm x)=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\bm x

４５度回転する： g(\bm x)=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\bm x

合成すると、

g\!\circ\!f(\bm x)=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\bm x=\begin{bmatrix}3/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\3/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\bm x

コメント†




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