スピントロニクス理論の基礎/8-8 のバックアップ(No.7)

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8-8 相互作用の摂動論的扱い

時間発展の分割

H=H_0+V

に対して、

(8.96), (8.97)

U=(U_0U_0^\dagger) U=U_0(U_0^\dagger U)\equiv U_0 U_V

として、 U U_0 U_V に分けて書く。

(8.98), (8.99)

U U_0 の時間微分は (8.3) から得ることができて、

&math( i\hbar\frac{\PD}{\PD t}U_V&=i\hbar\frac{\PD U_0^\dagger}{\PD t} U+i\hbar U_0^\dagger\frac{\PD U}{\PD t}\\ &=i\hbar\left(\frac{H_0 U_0}{i\hbar}\right)^\dagger U+i\hbar U_0^\dagger \left(\frac{H U}{i\hbar}\right)\\ &=-U_0^\dagger H_0 U + U_0^\dagger H U\\ &=U_0^\dagger (H-H_0) U\\ &=U_0^\dagger V U\\ &=U_0^\dagger V (U_0 U_0^\dagger) U\\ &=V_{H_0}U_V );

したがって (8.7) と同様にして、

(8.100)

U_V(t,t_0)=Te^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^tdt'V_{H_0}(t')}

経路積分を H0 と V で表す

これと O_\mathrm H=U^\dagger O U=U_V^\dagger U_0^\dagger O U_0 U_V=U_V^\dagger O_{\mathrm H_0}U_V を用いて、

(8.101)

&math( \overline O(t)&= \frac{1}{Z_0}\trace[U(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0)U_V^\dagger(t,t_0)O_{\mathrm H_0}(t)U_V(t,t_0)]\\ &\,\textcolor{red}{\stackrel{?}{=}}\,\frac{1}{Z_0}\trace[U_V(-i\beta\textcolor{red}{/\hbar}+t_0,t_0)U_V^\dagger(t,t_0)O_{\mathrm H_0}(t)U_V(t,t_0)]\\ &=\frac{1}{Z_0}\trace[T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'V_{\mathrm H_0}(\tau')}O_{\mathrm H_0}(\tau)]\\ &=\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'V_{\mathrm H_0}(\tau')}O_{\mathrm H_0}(\tau)\big\rangle );

※ (2011.9.5 追記)

この部分について、非常に重要な指摘が佐野先生からあった。

1行目の U(-i\beta/\hbar+t_0,t_0)=e^{-\beta H(t_0)} が、
2行目では U_V(-i\beta/\hbar+t_0,t_0)=e^{-\beta V(t_0)} になってしまっている。

これは t=t_0 の初期状態で統計平均を取る際のエネルギーを間違えて評価していることを意味し、以降の計算に妥当性が無くなってしまいそうです。

統計平均の重み付けにおいて V(t_0) の寄与ではなく、 H_0(t_0) の寄与を忘れているので、 時刻 t_0 で外場がなければ良いという話ではなく、 また今考えているのはフェルミオンなので t_0 で温度が T=0 ならば良いという話でもなく、 かなり困りそうな予感がします。

もしかすると t=t_0 の周辺での V(t) の定義をうまくいじることでこの差を吸収るのでは、 と期待するけれど・・・どうなんでしょうね?

最終的にこの結果をどのように計算に生かすかあたりでもう一度振り返ってみたいと思います。

※ ここまで追記

G を g0 で表す

同様にして、

(8.102)

&math( G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') &=-i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tauV_{\mathrm H_0}(\tau)} c_{\mathrm H_0}(\bm r,\tau)c_{\mathrm H_0}^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle );

(8.63) の H H_0+V に置き換え、(8.24A), (8.30A) を用いれば、

(8.103)

&math( &i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=\hbar\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')

  1. i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tau'H(\tau')} [H_0(\tau)+V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &=\hbar\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')
  • \left(\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right)G
  1. i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\int_Cd\tauH(\tau)} [V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ );

&math( &\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right)G(\bm r,\tau,\bm r',\tau') =\hbar\delta(\tau-\tau')\delta^3(\bm r-\bm r')

  1. i\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [V(\tau),c(\bm r,\tau)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ );

(8.36) より \delta 関数を g_0 で書き換えられることを利用すると、

(8.104)

&math( &\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &= \left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\int_Cd\tau_1\int d^3r_1\hbar\delta(\tau-\tau_1)\delta^3(\bm r-\bm r_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [V(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ &= \left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right)g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+\left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \textcolor{red}{\tau}}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\textcolor{red}{\bm r}}+\varepsilon_F\right) \int_Cd\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [V(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ );

2項目に \left(i\hbar\frac{\PD}{\PD \tau}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_{\bm r}+\varepsilon_F\right) を無理矢理出現させるため、 一旦δ関数をかけて積分する形を作っておいて、そのδ関数を g_0 で置き換えた。

τ1 の積分区間に対する注意

\tau は実時間に投影されるべき値で、 \tau\in C_\leftarrow + C_\rightarrow \equiv C_\rightleftarrows であるから、 \tau_1 の積分範囲も C 全体ではなく、 C_\rightleftarrows=C - C_\beta の範囲で取ればよい。

&math( \int_Cd\tau_1\ \ \ \rightarrow\ \ \ \int_{C_\rightleftarrows}d\tau_1 );

この違いは \tau 上で考える限り意味をなさず、 実際どちらでも結果は同じになるが、 (8.110) あたりで実時間へ射影するときにこの点が効いてくる。

G を g0 と V で表した式

(8.105)

&math( &G(\bm r,\tau,\bm r',\tau')=g_0(\bm r,\tau,\bm r',\tau')\\ &+ \int_{C_\rightleftarrows}d\tau_1\int d^3r_1g_0(\bm r,\tau,\bm r_1,\tau_1)\times \frac{i}{\textcolor{red}{\hbar}}\big\langle T_C\,e^{-\frac{i}{\hbar}\int_Cd\tauH(\tau)} [V(\tau_1),c(\bm r_1,\tau_1)]c^\dagger(\bm r',\tau')\big\rangle\\ );

この式は g_0 V(t) から G を得るための式になっていて、 現段階では近似は入っていないため、 V(t) が大きいときにも正確な式である。

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