スピントロニクス理論の基礎/9-1B のバックアップ(No.2)

(9.4) 式の高次項ではない †

(9.4) 式は で展開しているので、高次項には の２次以上が含まれるはずだが、 (9.28) に は１つしか入っていない。

(9.5) 式の g を g₀ で展開した形に似ている †

(8.121) より、

&math( g^\alpha_{\bm k,\omega} = g^\alpha_{0\bm k,\omega}

1. n_iv_i^2\frac{1}{N} \sum_{\bm q'} g^\alpha_{0\bm k,\omega} g^\alpha_{0\bm k+q',\omega} g^\alpha_{0\bm k,\omega} + \dots );

この１項目と２項目とを掛け合わせると、 の項が出る。

&math( \left[ g^\alpha_{\bm k+\frac{q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \, g^\alpha_{\bm k-\frac{q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} \right]^< );

にこれらをそのまま入れると、かなり似た項は出るが、(9.28) そのものは出ない。

そもそも、こういう項は や の形になるから、どうも話が違う。

これらの過程は (9.27) の に含まれている、上下どちらかに１つ耳の生えたタイプということで、 改めて組み込む必要は無いということだと思う。

なぜ (9.28) 式の は でないのか †

上下に耳が生える過程を組み込むため？

これまでの近似で落とされていたのに気付かなかった？ †

たぶんそう。

どこから出てくるのだろう？・・・不純物平均のところか。

上で見たとおり、(9.28) の項は の２次の項とゼロ次の項を掛けた物ではなく、 １次の項を２つ掛けた物だ。

8-10 では１次の項は不純物平均により消えるとされたけど、 ポテンシャルがあると残る物が出てくるのかも。

不純物平均の前まで戻って とする。

(8.145) からポテンシャルを３回含む項を取り出してみる。

それ以外の項は下線を引いて、どんどん消していく。

&math( &g_{\bm k,\bm k',\omega}^< = \underline{\delta_{\bm k,\bm k'}g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<}

1. \sum_{\bm q}\big[

    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^rv(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<
   +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^<v(\bm q)g_{\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a

   \big] \\&= \sum_{\bm q}\Big[

    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) \Big(
      \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<}
      +\sum_{\bm q'}\big[
        g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<
       +g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
      \big]\Big)\\

   &\hspace{9.5mm}

   +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) \Big(
      \underline{\delta_{\bm k+\bm q,\bm k'}g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}
      +\sum_{\bm q'}
        g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')g_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a
      \Big)

   \Big] \\&= \sum_{\bm q,\bm q'}\Big[

    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q)
        g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
            \Big( \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<}\\

   &\hspace{4cm}

                +\sum_{\bm q''}\big[
                  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^<
                 +g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
                \big]
            \Big)\\

   &\hspace{9.5mm}

   +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')
    \Big(
      \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}
      +\sum_{\bm q''}
        g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
      \Big)\\

   &\hspace{9.5mm}

   +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q)
        g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
    \Big(
      \underline{\delta_{\bm k+\bm q+\bm q',\bm k'}g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}
      +\sum_{\bm q''}
        g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a
      \Big)

   \Big] \\&= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[

    g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
    g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^< \\

   &\hspace{13mm}

   +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
                  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^<v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\

   &\hspace{13mm}

   +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^<v(\bm q')
        g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\

   &\hspace{13mm}

   +g_{0\bm k,\bm k',\omega}^< v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
        g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\

   &\hspace{13mm} \Big] \delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'} \\ );

(8.153) を入れると、

&math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
 g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^rv(\bm q'') f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a}-g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^r \Big) \\

&\hspace{13mm}

+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv(\bm q') 
 f(\omega) \Big( \underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^a}-\underline{g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^r} \Big)
 v(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\

&\hspace{13mm}

+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v(\bm q) 
 f(\omega) \Big(  \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a}- \underline{g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r} \Big) v(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\

&\hspace{13mm}

+
 f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a- \underline{g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r} \Big)v(\bm q)
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega}^av(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega}^a \\

);

となる。

このままだと、下線を引いた項同士は打ち消し合ってしまって、 および の項しか残らない。

これは との相互作用で が変化しないとしたためで、 が変化するようなポテンシャルが入っている場合には、 打ち消さない項が残る？

例えば２つ目が で、 が変化するとすれば、

&math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[

 g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
 g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a -g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big) \\

&\hspace{13mm}

+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
 f(\omega+\Omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a - g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \Big)
 v_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\

&\hspace{13mm}

+g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) 
 f(\omega) \Big( g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r \Big) v_\phi(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\

&\hspace{13mm}

+
 f(\omega) \Big( g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a - g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r \Big)v_i(\bm q)
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a \\

&\hspace{13mm} \Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\ );

となって、やっぱり結局消えてしまいそうに思うけれど・・・

よく分からない。

上記で残ると思われる２つの項について、不純物平均を取ると

&math( &= \sum_{\bm q,\bm q',\bm q''}\Big[

- f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r v_i(\bm q) g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^rv_\phi(\bm q') 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^rv_i(\bm q'') g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^r \\

&\hspace{13mm}

+ f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a v_i(\bm q)
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^av_\phi(\bm q')
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^av_i(\bm q'')g_{0\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k',\omega+\Omega}^a 

\Big]\delta_{\bm k+\bm q+\bm q'+\bm q'',\bm k'}\\ &= n_iv_i^2 \sum_{\bm q,\bm q'} \delta_{\bm q+\bm q'',\bm 0} v_\phi(\bm q') \Big[

- f(\omega+\Omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^r g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^r 
  g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r g_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^r \\

&\hspace{45mm}

+ f(\omega) g_{0\bm k,\bm k',\omega}^a 
     g_{0\bm k+\bm q,\bm k',\omega}^a
     g_{0\bm k+\bm q+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^ag_{0\bm k+\bm q',\bm k',\omega+\Omega}^a 

\Big]\delta_{\bm k+\bm q',\bm k'}\\ );

あれ、ちょっと合わないか。後でもう少し考える。