スピントロニクス理論の基礎/9-2 のバックアップ(No.6)

電流密度を lesser Green 関数で表す †

(8.28) に (8.73) を代入し、(8.76) を使う

&math( \bm j(\bm r,t) \equiv \left. -\frac{ie\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r',t)\rrangle \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} );

&math( &= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) G^<(\bm r, t, \bm r', t) \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} \\ &= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) \left[ \frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^< \right]\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} \\ &=

• \frac{ie\hbar^2}{8\pi^2mV} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r}(\bm k+\bm k')G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^< );

ここで以下の変数変換を行えば、

、

、

&math( \bm j(\bm r,t) &=

• \frac{ie\hbar^2}{2mV} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm q}e^{-i(\omega-\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\omega+\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\bm k-\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}e^{-i(\bm k+\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}(\bm k-\frac{\bm q}{2}+\bm k+\frac{\bm q}{2}) G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< \\ &=
• \frac{i\hbar}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m} G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< );

スカラーポテンシャルを反映した Green 関数を代入する †

vertex 補正無し、つまり不純物散乱のみの Green 関数を元に への線形応答成分を とすると、

(9.4) より、

&math( \bm j(\bm r,t) &=

• \frac{i\hbar}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m} \bigg[ 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}

1. \underbrace{ \textcolor{red}{e} \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< }_{\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t)}
2. \cdots \bigg] );

(9.5) と比べると、 で に掛かっていた の部分を に置き換えた形になっている。

(9.6) 以下で などの評価をしたが、これらの評価をすべて に置き換えて評価すればよいことになる。

主項を取り出す †

9-1 章を見直してみると、

&math( [g_{--}g_{++}]^< =&\, \{f(+)-f(-)\}g_{--}^rg_{++}^a

• f(+)g_{--}^rg_{++}^r

1. f(-)g_{--}^ag_{++}^a \\=&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[

    2 g_{--}^rg_{++}^a
    -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big]

2. f(\omega)(g_{--}^ag_{++}^a-g_{--}^rg_{++}^r) \\=&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[

    2 g_{--}^rg_{++}^a
    -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big]

   \\&\,
3. f(\omega)\Big[ g_{-0}^ag_{+0}^a-g_{-0}^rg_{+0}^r+ \frac{\Omega}{2}\Big\{g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a)
4. g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r)\Big\} \Big] \\=&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ \underline{2 g_{--}^rg_{++}^a}

    -\underbrace{(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a)}_{O(\hbar/\varepsilon_F\tau)} \Big]

   \\&\,
5. f'(\omega)\Big[ \underline{(g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^r)}
6. \underbrace{\frac{\hbar^2q^2}{6m}(g_{\bm k}^a{}^2-g_{\bm k}^r{}^2)}_{O(q^2/k_F^2 )} \Big] \\&\,
7. f(\omega)\underbrace{\frac{\Omega}{2}\Big[g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a)
8. g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r) \Big]}_{O(\hbar \Omega q^2/\varepsilon_F k_F^2)} );

と変形し、下線部の２項が支配項であった。

同様にして、

&math( \bm k[g_{--}g_{++}]^< );

を評価すると、 の項は空間の対称性によってゼロとなり、 の項のみが残る。この項を の２乗となる項を除いて評価すると、

(9.48), (9.49)

&math( \bm I_{\bm q,\Omega} \equiv&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^a \\\sim&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},0}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},0}^a \\=&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \Big\{ \underline{g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a}

1. \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \Big\} );

下線を付けた は空間の対称性によりゼロとなり、第２項だけが残る。

&math( \bm I_{\bm q,\Omega} =&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \cdot \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \\=&\, 2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD\bm q );

(以下勉強中)