スピントロニクス理論の基礎/X-3 のバックアップ(No.1)

X-3 δ関数 †

&math( \delta(x)=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2} );

と置くと、この関数はδ関数となる。

• &math( &\int_a^b f(x)\delta(x)dx=\int_a^b f(x)\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}dx\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_a^b f(x)\frac{\delta}{x^2+\delta^2}dx\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{\delta}{(t\delta)^2+\delta^2}d(t\delta)\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{\delta}{(t^2+1)\delta^2}\cdot\delta dt\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{1}{t^2+1} dt\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\infty}^{(\mathrm{sgn}\,b)\infty} f(0)\frac{1}{t^2+1} dt\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\infty}^{(\mathrm{sgn}\,b)\infty} \frac{1}{t^2+1} dt\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} \frac{1}{(\tan \theta)^2+1} d(\tan \theta)\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} \frac{(\tan \theta)^2+1}{(\tan \theta)^2+1} d\theta\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} d\theta\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\frac{\pi}{2}[\mathrm{sgn}\,b-\mathrm{sgn}\,a]\\ &=\begin{cases} 0 & (0<a,b)\\ f(0) & (a<0,0<b)\\ 0 & (a,b<0)\\
• f(0) & (b<0,0<a)\\ \end{cases} );