連立一次方程式 †
連立一次方程式とは †
- 一次方程式：最大で一次の項からなる方程式
- 連立：複数ある
一次の項？
- ０次：
- 一次：
- 二次：
- 三次：
- ・・・
そして
- 項：＋やーで繋がれたもの
なら
や
の他、
を項と呼ぶことも
- 因子：積や商で繋がれたもの
なら
や
「最大で一次の項からなる方程式が複数ある」
一次方程式の例 †
必ずしも解けるわけではない †
解がたくさん出てくる †
任意の
について解になる。
解が１つもない †
下の式から上の式の２倍を引くと、
どんな
を持ってきてもこの式を満たすことはできない。
したがって、「解無し」
連立方程式の一般系 †
&maht(x_1,x_2,\cdots,x_n); が変数
&maht(a_{11},\cdots,a_{mn}); が定数（係数）
&maht(b_1,b_2,\cdots,b_m); も定数
変数に使う文字：
変数が３つまでであれば、
が使われるし、
変数が４つまでであれば、
が使われる事が多い。
それ以上の時は、
の形で表すとよい。
連立方程式とベクトル方程式 †
、
、
&maty(\bm b = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{bmatrix});
係数行列、変数ベクトル、定数ベクトル
と置くと、連立一次方程式は次の形のベクトル方程式に書ける。
方程式の解 †
先の例と同様に、
のいずれにもなりうる。
なら
だから、かならず解は１つだけ求まるんじゃないの？
というのはちょっと甘い。
-
が正則でない場合もあるし
- そもそも
が正方行列にならない場合も考えないと
実際の問題では †
物理学やその他のシミュレーションでは、
何万、何十万の変数を持つ連立一次方程式を
計算機を使って解かなければならない問題がたくさんある。
- 大きな次数の計算では「行き当たりばったり」の計算方法では困る
- 方程式の性質自体を行列を使って理解したい
というのが、以降で行う内容。
連立一次方程式の例 †
を解こう。
∴
より
あるいは、
どうやったか？ †
連立方程式の解を変化させずに以下の式変形が可能：
- ある式を定数倍(
)する
- ある式を定数倍して別の式に加える
- (ある式を別の式を入れ替える) ←必要なら
与えられた式に上記の操作を繰り返して、最終的に
の形にした。
係数だけ取り出して考える †
のような連立一次方程式に対して、係数行列と定数ベクトルを並べてできる次のような行列を「拡大係数行列」と呼ぶ。
この行列に対して、
- ある行を定数倍(
)する
- ある行を定数倍して別の行に加える
- ある行を別の式を入れ替える
を行っても、対応する方程式の解は変わらない。
これら３つの変形は「（行に対する）基本変形」と呼ばれる。
行列が解けて、解が１つだけ定まる場合には、上記の拡大係数行列に変形を繰り返すことで、
&maht(\left[\begin{array}{ccccl}1&0&\cdots&0&b_1^\prime\\
0&1&&\vdots&\vdots\\\vdots&&\ddots&0&b_{m-1}^\prime\\0&\cdots&0&1&b_m^\prime\end{array}\right]=[\,I\ \bm b^\prime\,]);
のように、単位行列の右側に（はじめとは異なる）定数ベクトルが並ぶ形にできる。
この式は、
のような式に対応していることから、
が解となる。
ガウスの消去法（掃出し法） †
先の問題を、拡大係数行列を変形する方法で解いてみる。
ここで採用する方法は「ガウスの消去法」あるいは「掃出し法」と呼ばれる。