線形代数II/代数学的構造 のバックアップ(No.3)
更新線形代数Ⅱ?
代数学とは †
この授業は「線形代数」だ。
これまでに「線形」の意味は教わった。
が線形とは： が成り立つこと
原点を通る直線的なグラフを持つ関数を思い浮かべると良い
では「代数学」とは？
これまで様々な「数」を学んできた。
- 自然数 = 加算・乗算について閉じている
- 整数 = 減算についても閉じている
- 有理数 = 除算についても「ほぼ」閉じている （ゼロでの除算は例外）
- 実数 = 収束する有理数列の極限演算についても閉じている
- 複素数 = 負数の開根操作についても閉じている
であり、新しい「演算」の導入により「数の集合」を拡大してきた。
- 解析学は主に または の上、 あるいは や の上で、極限や微積分を扱う数学である
代数学は
の系列から外れて、
例えば、
乗算は定義されるが加算は定義されない数の集合
などというように、「何らかの演算」と、その演算に対して閉じた「数の集合」を定め、 そこに現れる「構造」を研究する。
これから学ぶ「ベクトル」も上でいう「数」の一員である。
代数学的構造の例： 群 †
ある集合
にある演算
が定義され、
は
について「閉じている」とする。
(すなわち
について
)
（ 「 について」 は、「任意の の元 について」 という意味 ）
さらにこの演算が次の公理を満たすものとする。
- に対して結合法則 が成り立つ
- に対して を満たすような特別な元（単位元） が存在する
- に対して、 を満たすような元（逆元） が存在する
このとき、「 は演算 について群である」 という。
群の例 †
一見すると、 を有理数 、 を通常の乗算 と考えれば群の公理を満たしそうに思えるが、 が逆元を持たないため、 有理数 は乗算 について群とはならない。
を有理数 からゼロを除いた集合とすれば、この集合は乗算 に対して群となる。
を整数 、 を通常の加算 、単位元を と考えると公理を満たすから、 は加算について群である。（加算の単位元は であることに注意）
を の倍数 、 を通常の加算 、単位元を と考えると、これも群を為す。
群の要素数が有限である場合もある。
自明な群： １つしか要素を持たない集合 に対して、 と定義すれば、 は群である。
に対して、演算 を
| * | a | b | c |
|---|---|---|---|
| a | a | b | c |
| b | b | c | a |
| c | c | a | b |
と定義すれば、
は群である。
ただしこの表は、
の演算結果を示した物である。
代数学で扱う「演算」は、このように表を作ることで任意に定義できる。
例えばこの表を、
| a | b | c | |
|---|---|---|---|
| a | a | b | c |
| b | b | c | b |
| c | c | b | a |
とすると別の演算 を定義できるが、 となって は結合法則を満たさず、 は に対して群ではない。
「群」の公理は上のように単純なものであるが、
その数学的構造は非常に奥深く、「群論」だけで数学の１分野となる。
応用理工の数学カリキュラムでは群論の詳細には立ち入らないが、 結晶学や分子振動における点群や、 ゲージ理論などにおける対称性に関する議論に重要な応用があるため どこかでまた学ぶことになるかもしれない。
その他の代数的構造 †
- 半群 = 群の公理から 2., 3. を除いて 1. のみを公理とする
- 群 = 上記
- 可換群 = 群の公理に交換律 を加える
- 体 = ２つの演算 を持ち、 に対して可換群、0 を除いて に対しても可換群であり、さらに分配法則 が成立する（つまり「四則演算」ができる集合のこと）
有理数
や実数
、複素数
は
自由に四則演算の行える構造を持ち、「体」である。
そこでしばしば 有理体、実数体、複素数体 などとも呼ばれる。
これ以外にも様々な代数的構造が研究されている。
代数的構造の意味 †
「代数的構造」の優れた点は数学的に類似の構造を持つ対象を抜き出して、 それらをまとめて議論できる点にある。
異なる対象の「類似点」を公理の形で記し、公理のみを基に定理を導くことにより、 個々の対象に依存せず、すべての対象に適用可能な結論を導くことができる。