射影・直和・直交直和 のバックアップ(No.4)

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ベクトルの成分

ある規格化されたベクトル \bm e が与えられ、
別のベクトル \bm x \bm e に平行な成分 \bm x_{\parallel} と、 \bm e に平行な成分 \bm x_{\perp} とに分けることを考える。

\bm x=\bm x_{\parallel}+\bm x{\perp}

\bm x_{\parallel} \bm e と平行なので、

\bm x_{\parallel}=x_{\parallel} \bm e

と書き直すと、

\bm x=x_{\parallel}\bm e+\bm x{\perp}

両辺に左から \bm e をかけることで、

(\bm e,\bm x)=x_{\parallel}

が得られ、

\bm x_{\parallel}=(\bm e,\bm x)\bm e
\bm x_{\perp}=\bm x-\bm x_\parallel=\bm x-(\bm e,\bm x)\bm e

としてこれらのベクトルを求められる。
(同じことをグラム・シュミットの直交化の中で行った)

この \bm x_\parallel \bm x \bm e 方向成分と呼ぶ。

注意

複素ベクトルに対しては (\bm x,\bm e)\ne(\bm e,\bm x) なので、 どちらから掛けるかが重要になる。

(\bm e,\bm x)=(\bm e,x_\parallel \bm e)=x_{\parallel} だが、
(\bm x,\bm e)=(x_\parallel \bm e,\bm e)=\overline{x_{\parallel}} となってしまう。

射影演算子

&math( \bm x_{\parallel}&=(\bm e,\bm x)\bm e\\ &=\bm e (\bm e,\bm x)\\ &=\bm e \bm e^\dagger \bm x\\ &=P_{\bm e} \bm x );

ただし、 P_{\bm e}=\bm e\bm e^\dagger である。

この行列は \bm x から \bm e 方向成分を取り出す行列となる。

P_{\bm e} \bm e 軸への射影演算子と呼ぶ。

射影演算子はエルミート行列になる。

\big(P_{\bm e}\big)_{ij}=e_j \overline{e_i}

\big(P_{\bm e}\big)_{ji}=e_i \overline{e_j}=\overline{(e_j \overline{e_i})}

より、 \big(P_{\bm e}\big)_{ji}=\overline{\big(P_{\bm e}\big)_{ij}}

直和

あるベクトルを「成分」に分ける話を一般化する。

W_1,W_2,\dots,W_r V の部分空間とし、
W_k の基底をすべて合わせると V の基底となる場合、
その基底を B=\langle\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_n\rangle とすると、

&math( \bm x&=\underbrace{x_1\bm b_1+x_2\bm b_2}_{\bm x_1\in W_1}

  1. \underbrace{x_3\bm b_3+\ \ }_{\bm x_2\in W_2} \dots\underbrace{\ \ +x_n\bm b_n}_{\bm x_r\in W_r}\\ &=\bm x_1+\bm x_2+\dots+\bm x_r );

のように、 \{W_k\} のベクトル \{\bm x_k\} W_k 成分)の和として一意に表せる。

このような場合に V=W_1\dot +W_2\dot +W_3\dot +\dots\dot +W_r と書き、
V W_1,W_2,\dots,W_r の直和である、という。

具体的な \bm x_k の値を求めるには、 基底 B に対する \bm x の成分をすべて求めないとならないが、 一般にこれはそれほど簡単ではない。

\mathbb R^2 の部分空間、
V=\set{\bm x\in \mathbb R^2|\bm x=t{\textstyle\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},t\in \mathbb R}
W=\set{\bm x\in \mathbb R^2|\bm x=t{\textstyle\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},t\in \mathbb R}

に対して、 \mathbb R^2=V\dot +W である。

直和.png

この場合、 \bm x=\bm x_V+\bm x_W に分けようとして、 \bm x_V=\Big(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\bm x\Big) などとしたのではうまく行かないことが分かる。

(発展)和空間との関係

V の部分空間 W_1,W_2,\dots,W_r に対して、 W_1,W_2,\dots,W_r を含む最小の線形空間を これらの空間の和空間と呼び、 W_1+W_2+\dots+W_r と書く。

V=W_1\dot +W_2\dot +\dots\dot +W_r

であること(直和であること)と、

V=W_1+W_2+\dots+W_r かつ \dim V=\dim W_1+\dim W_2+\dots+\dim W_r

であること、あるいは、

V=W_1+W_2+\dots+W_r かつ W_1,W_2,\dots,W_r \bm 0 意外に共通の元を持たないこと

とは同値である。

直交直和

W_k 正規直交基底をすべて合わせると V 正規直交基底となる場合、 V=W_1\oplus W_2\oplus W_3\oplus \dots\oplus W_r と書き、
V W_1,W_2,\dots,W_r の直交直和である、という。

このとき、 \bm x_i\in W_i \bm x_j\in W_j (\bm x_i,\bm x_j)=0 となる。 ただし (i\ne j)

ベクトル \bm x W_k 成分 \bm x_k W_k の正規直交基底を \bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_m とすると、

\bm x_k=\sum_{i=1}^m \bm e_i\bm e_i^\dagger \bm x

と表せるから、 P_{W_k}=\sum_{i=1}^m \bm e_i\bm e_i^\dagger W_k への射影演算子となる。エルミート演算子の和はエルミートなので、 これもエルミート演算子になる。

V=W_1\oplus W_2 のとき、 W_2 W_1 の直交補空間と呼び、 W_2=W_1^\perp と書く。

例1

\mathbb R^3 の部分空間として \bm a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\bm b=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} で張られる空間 V=[\bm a,\bm b]\in \mathbb R^3 を考える。

\mathbb R^3 から V への射影演算子を求めよ。

解答:

\bm b,\bm a からシュミットの直交化を用いて正規直交系を作る。

\bm e_1=\frac{1}{\|\bm b\|}\bm b=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}

&math( \bm f_2 &=\bm a-(\bm e_1,\bm a)\bm e_1\\ &=\bm a-\bm e_1\bm e_1^\dagger\bm a\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}

  • \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}

);

&math( \bm e_2=\frac{1}{\|\bm f_2\|}\bm f_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} );

したがって、求める射影演算子は

&math( P_V&=\bm e_1\bm e_1^\dagger+\bm e_2\bm e_2^\dagger\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}

  1. \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}
  2. \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix} );

各射影演算子がエルミート(実数行列では対称)になっていることにも注目。

例2

3次元空間に原点を通る平面 x+y+z=0 を考える。 この平面への射影演算子を求めよ。

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