解析力学/ネーターの定理 のバックアップ(No.14)

目次 †

解析力学/ラグランジアン の続きです。

ラグランジアンの任意性 †

ある系のラグランジアン $L$ に、粒子の位置と時間の関数 $F(q_1(t),q_2(t),\dots,q_n(t),t)$ の時間に対する全微分 $\frac{dF}{dt}$ を加えても運動方程式は変化しない。なぜなら、

$$ L'=L+\frac{dF}{dt} $$

に対して、

$$ \begin{aligned} S&=\int_{t_1}^{t_2}L'\ dt=\int_{t_1}^{t_2}\left(L+\frac{dF}{dt}\right)\ dt\\ &=\int_{t_1}^{t_2}L\ dt+\underbrace{F(q_1(t_2),q_2(t_2),\dots,q_n(t_2),t_2)-F(q_1(t_1),q_2(t_1),\dots,q_n(t_1),t_1)}_\text{定数} \end{aligned} $$

となって、$q_k(t_1),q_k(t_2)$ が固定されている限り $F(t_2)-F(t_1)$ は定数であり、 $S$ の $q_k$ に対する変分に影響を与えないためである。

したがって、ある力学系のラグランジアンとして必ずしも前述のように $L=T-U$ と取る必要はなく、その取り方には $F$ の分だけ任意性が残されていることになる。 （実はそれ以外にもいろいろ任意性があるのだが、ここでは深入りしない）

上記のように同じ運動方程式を与えるラグランジアン $L'$ と $L$ とは「同値なラグランジアン」であると呼ばれる。

ラグランジアンの対称性 †

座標変換 $q_i\to Q_i, t\to T$ を考える。 一般にはそのような座標変換に伴いラグランジアンの関数形は $L\to L'$ と変化し、

$$ \begin{aligned} &L(q_1,q_2,\dots,q_n,\dot q_1,\dot q_2,\dots,\dot q_n,t)=\\ &L'(Q_1,Q_2,\dots,Q_n,\dot Q_1,\dot Q_2,\dots,\dot Q_n,T) \end{aligned} $$

となるのであるが、元のラグランジアンの関数形 $L$ にそのまま $Q_i,\dot Q_i,T$ を代入しても

$$ \begin{aligned} &L(q_1,q_2,\dots,q_n,\dot q_1,\dot q_2,\dots,\dot q_n,t)=\\ &L(Q_1,Q_2,\dots,Q_n,\dot Q_1,\dot Q_2,\dots,\dot Q_n,T) \end{aligned} $$

が成り立つとき、すなわち元のラグランジアンの $q_i,\dot q_i,t$ を $Q_i,\dot Q_i,T$ に書き換えても値が変わらないとき、ラグランジアンはその座標変換に対して対称性を持つ、と言われる。

例えば座標軸の並進(原点の移動) $X=x-x_0$ に対して変化しなければ並進対称性があるといい、 座標軸の回転 $\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ に対してラグランジアンが変化しなければ回転対称性があるという。

ラグランジアン力学におけるネーターの定理 †

「ある座標変換に対して作用積分が対称性を持つならば、 その対称性に対応する保存量が存在する」というのがラグランジアン力学におけるネーターの定理である。

ここでいう保存量とは、時間と共に変化することなく一定に保たれる物理量のことである。 例えば並進対称性からは運動量の保存が、回転対称性からは角運動量の保存が、時間に対する並進対称性からはエネルギーの保存が導かれる。

以下、実際に導いてみよう。

微小な座標変換 $q_i\to Q_i,t\to T$ を考える。座標は少しだけしか異ならないため、小さな $\delta q_i(t),\delta t(t)$ を使って

$$ \begin{aligned} Q_i&=q_i+\delta q_i(t)\\ T&=t+\delta t(t) \end{aligned} $$

と表せるとしよう。さらにこれら $\delta q_i,\delta t$ は単一の微小量 $\delta$ を用いて

$$ \delta q_i=\epsilon_i(t)\delta\\ \delta t=\tau(t)\delta $$

と書けるとする。

まず準備として、この座標変換に対するラグランジアンの変化量

$$ \begin{aligned} \delta L&=L(Q_1,Q_2,\dots,Q_n,\dot Q_1,\dot Q_2,\dots,\dot Q_n,T)-L(q_1,q_2,\dots,q_n,\dot q_1,\dot q_2,\dots,\dot q_n,t)\\ \end{aligned} $$

を求めよう。ただしここで、

$$ \dot q_i=\frac{dq_i}{dt} $$

であるのに対し、

$$ \dot Q_i=\frac{dQ_i}{dT} $$

であることに注意が必要である。一次近似の範囲で

$$ \begin{aligned} \dot Q_i&=\frac{dQ_i}{dt}\frac{dt}{dT}=\frac{dQ_i}{dt}\Big(\frac{dT}{dt}\Big)^{-1}=\frac{dQ_i}{dt}\frac1{1+\delta\dot t}\\ &\sim\frac{dQ_i}{dt}(1-\delta\dot t) =(\dot q_i+\delta\dot q_i)(1-\delta\dot t)\\ &\sim\dot q_i+\delta\dot q_i-\dot q_i\delta\dot t \end{aligned} $$

となるから、これを使うと、

$$ \begin{aligned} \delta L&=\sum_{i=1}^n\bigg(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}(\delta\dot q_i-\dot q\delta\dot t)\bigg)+ {\color{blue}\frac{\partial L}{\partial t}}\delta t+\underbrace{\color{red}L\delta \dot t-L\delta \dot t}_{=\,0}\\ &=\sum_{i=1}^n\bigg(\bigg\{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\bigg\}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta \dot q_i\bigg)-\underbrace{\bigg[\sum_{i=1}^n\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot q_i-{\color{red}L} \bigg]}_H\delta\dot t{\color{blue}-\dot H}\delta t{\color{red}-L\delta\dot t}\\ &=\sum_{i=1}^n\frac{d}{dt}\bigg\{\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i\bigg\}-\frac{d}{dt}\big(H\delta t\big)-L\delta\dot t\\ &=\bigg[-\frac{d}{dt}\underbrace{\bigg\{H\tau-\sum_{i=1}^n\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\epsilon_i\bigg\}}_X- L\dot \tau\bigg]\delta\\ &=(-\dot X- L\dot \tau)\delta\\ \end{aligned} $$

を得る。ただし途中でラグランジュの運動方程式 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$ および ハミルトニアンの定義とエネルギーの保存 で導いた $\dot H=-\partial L/\partial t$ を使い、 ${\color{red}L\delta \dot t-L\delta \dot t}=0$ を加えた。

また、

$$ \begin{aligned} X&=H\tau(t)-\sum_{i=1}^n\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\epsilon_i(t)\\ &=H\tau(t)-\sum_{i=1}^np_i\epsilon_i(t) \end{aligned} $$

と置いた。

上記の結果に $-L\dot \tau$ の項が現れなければ、$\delta L=0$ つまり座標変換に対するラグランジアンの対称性から $\dot X=0$ つまり $X$ が保存量となることを導けるため、一見すると $-L\dot \tau$ の項は邪魔に見えるのであるが、

以下のように作用積分 $S=\int L\,dt$ の対称性から $X$ が保存量となることを導こうとするとこの項が役立つ。

上で求めた $\delta L$ を用いて座標変換に対する作用 $S=\int L\ dt$ の変化を求めよう。$dT=(1+\dot\tau\delta)dt$ に注意しつつ $\delta$ に関する高次の項を無視すると、

$$ \begin{aligned} \delta S &= \int_{T_1}^{T_2} L(Q_1,\dots,\dot Q_1,\dots,T)\ {\color{blue}dT}- \int_{t_1}^{t_2} L(q_1,\dots,\dot q_1,\dots,t)\ dt\\ &= \int_{t_1}^{t_2}(L+ \delta L){\color{blue}(1+\dot\tau\delta)\ dt}- \int_{t_1}^{t_2} L\ dt\\ &\sim \int_{t_1}^{t_2}(\cancel L+ \delta L+L\dot\tau\delta)\ dt- \int_{t_1}^{t_2} \cancel L\ dt\\ &=\int_{t_1}^{t_2}\big(-\dot X- \cancel{L\dot\tau}+\cancel{L\dot\tau}\big)dt\cdot\delta\\ &=\big\{X(t_1)-X(t_2)\big\}\delta=0 \end{aligned} $$

となって、$\delta L$ を求めた際に余計に見えた $-L\dot \tau$ の項は、$dT$ を $dt$ で書き換えた際に出てくる $L\dot \tau$ の項と打ち消し合って、最終的に $\delta S=0$ から $X(x_1)=X(x_2)$ すなわち $X$ が時間に依らずに一定であることを導けたことになる。

得られた結果をまとめると、

単一の微小量 $\delta$ を用いて次のように書ける微小な座標変換 $q_i\to Q_i,t\to T$ ただし、

$$ \begin{aligned} Q_i&=q_i+\epsilon_i(t)\delta\\ T&=t+\tau(t)\delta \end{aligned} $$

に対して作用 $S=\int L\,dt$ が対称であるとき、その対称性に対応して、物理量

$$ X=H\tau(t)-\sum_{i=1}^n p_i\epsilon_i(t) $$

が保存量となる。このとき $\delta L=-L\dot \tau\delta$ となる。

作用が完全に対称ではなく、座標変換によって

$$ S\to S-\{F(t_2)-F(t_1)\}\delta $$

のように同値な物理系を与える場合にも保存量は存在し、上の $X$ に $F$ を加えた

$$ X=F+H\tau-\sum_{i=1}^n p_i\epsilon_i $$

が保存量となることもすぐにわかる。 このとき $\delta L=-L\dot \tau\delta-\dot F$ となる。

$\dot\tau=0$ を満たす変換に対しては作用の対称性はラグランジアンの対称性と同一視できるため、ラグランジアンの対称性つまり $\delta L=0$ あるいは $\delta L=-\dot F$ から保存量 $X$ の存在を言える。

質問・コメント †