量子力学/汎関数微分 のバックアップ(No.1)

どうして積分が必要なのか？ †

どうして

$$ \delta F[\delta \phi]=\frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi $$

ではなく、

$$ \delta F[\delta \phi]=\int \frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi(x)\ dx $$

のように積分が必要なのか？

これは、$n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ の

$$ x_i\to x_i+\delta x_i $$

に対する変化が、

$$ f\to f+\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\delta x_i $$

であったことと対応している。$F[\phi]$ では $\sum$ の代りに $\int$ が現れたわけだ。

言ってしまえば、汎関数 $F[\phi]$ は無限個の変数 $\phi(x)$ に依存する超多変数関数なのである。

$F[\phi]$ は $\phi(0)$ にも $\phi(0.1)$ にも $\phi(0.11)$ にも依存している（可能性がある）。というか、定義域に含まれるすべての $x$ に対する $\phi(x)$ に依存している（可能性がある）のだから、それぞれに対する変化量である $(\delta F/\delta\phi)\delta\phi(x)$ をすべて足したものが $\delta F[\delta\phi]$ になる。$x$ が連続なので「すべて足したもの」を計算するのに $\sum$ ではなくて $\int $ が必要になるわけだ。

例１ †

$$ F[\phi]=\int f\big(x,\phi(x)\big)\ dx $$

のときは単純に、

$$ \delta F[\delta \phi]=\int \frac{\partial f}{\partial \phi} \delta\phi(x)\ dx $$

であるから、

$$ \frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi} $$

となる。これは一般に $x$ の関数である。

めでたしめでたし？

例２ †

$$ \phi'=\frac{d\phi}{dx} $$

などと書くことにして、

$$ F[\phi]=\int f(\phi(x),\phi'(x))\ dx $$

のとき、

$$ \delta F[\delta\phi]=\int \Big[\frac{\partial f}{\partial \phi}\delta \phi+\frac{\partial f}{\partial \phi'}\delta \phi'\Big] dx $$

部分積分すると、

$$ \delta F[\delta\phi]=\Big[\frac{\partial f}{\partial \phi'}\delta \phi\Big]+\int \Big[\frac{\partial f}{\partial \phi}-\Big(\frac{\partial f}{\partial \phi'}\Big)'\Big]\delta \phi\ dx $$

積分区間の端で $\frac{\partial f}{\partial \phi'}=0$ または $\delta \phi=0$ となる場合には１項目は消えて、

$$ \frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi}-\Big(\frac{\partial f}{\partial \phi'}\Big)' $$

と書ける。微分をちゃんと書いておくと、

$$ \frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial f}{\partial (d\phi/dx)}\Big) $$

である。この形はラグランジアン密度を考える際などに頻出する。