ラグランジュの未定係数法 のバックアップ(No.1)

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量子力学Ⅰ

概要 †

f(x_1,x_2,\dots,x_n) について、

拘束条件 g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\ \ \ (i=1\dots m, m<n) の下での停留点を探したい。

キモ †

\bm x=(x_1,x_2,\dots,x_n) を n 次元空間のベクトルと考えると、 \bm x は拘束条件を満たす方向にしか動かせないので、 そのような方向へ動かした際に \Delta f=0 となることが 「拘束条件下での停留点」の意味するところである。

拘束条件を満たさない方向へ動かしたときに \Delta f\ne 0 となっても構わないということ。

ラグランジュの未定係数法 †

L(x_1,x_2,\dots,x_n)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\sum_i \lambda_i g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)

に対して、

\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{\partial L}{\partial x_2}=\dots=\frac{\partial L}{\partial x_n}=0

\frac{\partial L}{\partial lambda_1}=\frac{\partial L}{\partial \lambda_2}=\dots=\frac{\partial L}{\partial \lambda_m}=0

を満たす点が停留点となる。

微係数の意味 †

x_i での微分は、

\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\sum_i \lambda_i\frac{\partial g}{\partial x_1}=0

などとなるから、ベクトル表記を使えば n 本の条件をまとめて、

\bm \nabla L(x_1,x_2,\dots,x_n)=\bm \nabla f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\sum_i \lambda_i \bm \nabla g_i(x_1,x_2,\dots,x_n)=\bm 0

と書ける。

\lambda_i での微分からは元の拘束条件が現れるのみである。

ラグランジュの未定係数法の意味 †

ベクトル \bm x を \Delta \bm x だけ動かしたとすると、

\Delta L=\bm \nabla L\cdot\Delta \bm x=\bm \nabla f\cdot \cdot\Delta \bm x+\sum_i \lambda_i \bm \nabla g_i\cdot \cdot\Delta \bm x=\bm 0

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