三次元空間での散乱現象/メモ のバックアップ(No.5)

更新

確率密度の保存 †

計算途中で検算もまだです。

&math( S_{r} &=\mathrm{Re}\left[\varphi^*(r,\theta,\phi)\frac{\hbar}{im}\frac{\PD}{\PD r}\varphi(r,\theta,\phi)\right]\\ &=\mathrm{Re}\left[\frac{\hbar}{im} \left\{e^{-ik_0r\cos\theta}+\frac{e^{-ik_0r}}{r}f^*(\theta,\phi)\right\} \left\{ik_0\cos\theta e^{ik_0r\cos\theta}

  1. \left(-\frac{1}{r^2}+\frac{ik_0}{r}\right)e^{ik_0r}f(\theta,\phi)\right\} \right]\\ &=\frac{\hbar}{m}\mathrm{Re}\left[k_0\cos\theta+\frac{k_0}{r^2}|f(\theta,\phi)|^2
  2. \frac{k_0\cos\theta}{r}e^{-ik_0r(1-\cos\theta)}f^*(\theta,\phi)
  3. \left(-\frac{1}{ir^2}+\frac{k_0}{r}\right)e^{ik_0r(1-\cos\theta)}f(\theta,\phi) \right]\\ &=\frac{\hbar}{m}\left\{k_0\cos\theta+\frac{k_0}{r^2}|f(\theta,\phi)|^2
  4. \left(\frac{k_0(1+\cos\theta)}{r}\mathrm{Re}Z-\frac{1}{r^2}\mathrm{Im}Z\right)\right\} );

ただし、 Z=e^{ik_0r(1-\cos\theta)}f(\theta,\phi)

ラザフォード散乱 †

LANG:mathematica
PolarPlot[
  1/(1 + {0.5, 1, 2, 4}^2 Sin[t/2]^2) // Evaluate, {t, 0, 2 Pi}, 
  PlotLegends -> {"A=0.5", "A=1", "A=2", "A=4"}
]

PolarPlot[
  1/(1 + {0.25, 1, 4, 16} Sin[t/2]^2)^2 // Evaluate, {t, 0, 2 Pi}, 
  PlotLegends -> {"A=0.5", "A=1", "A=2", "A=4"}
]

ラザフォード散乱の古典論 †

原点からのクーロン斥力を受けつつ運動する粒子の軌跡を求める。

ポテンシャルを \frac{qq'}{4\pi\epsilon_0 r} とし、 入射粒子の初速を x 軸正方向に v_0 、 遠方における入射粒子の y 座標、すなわち入射パラメータを b とする。

運動は x-y 面内に限られ、この面内に \phi を取れば、

動径方向の運動にはポテンシャルと遠心力が現れ、

&math( m\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0 r^2}+\underbrace{mr\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2}_{遠心力} );

\phi 方向の運動は中心力による角運動量保存則を示し、

&math( 2mr\frac{dr}{dt}\frac{d\phi}{dt}+mr^2\frac{d^2\phi}{dt^2}= \frac{d}{dt}\Big(\underbrace{mr^2\frac{d\phi}{dt}}_{角運動量} \Big)= 0 );

この、一定値となるべき角運動量は遠方において \bm r_0=(-x_0,b,0),\bm v_0=(v_0,0,0) ただし、 x_0\gg 1 から容易に求められ、

mr^2\frac{d\phi}{dt}=(m\bm r_0\times\bm v_0)_z=-mbv_0

すなわち、

\frac{d\phi}{dt}=-\frac{bv_0}{r^2}

これを動径方向の運動方程式に代入すれば、

&math( \frac{d^2r}{dt^2}=\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0 r^2m}+\frac{b^2v_0^2}{r^3} );

r(t)=1/u(\phi(t)) のように u(\phi) を導入すると、

\frac{d}{dt}=\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}=-\frac{bv_0}{r^2}\frac{d}{d\phi}=-bv_0u^2\frac{d}{d\phi}

を使って、

&math( \frac{d^2r}{dt^2}=b^2v_0^2u^2\frac{d}{d\phi}\Big(u^2\underbrace{\frac{d}{d\phi}\frac{1}{u}}_{-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt}}\Big) =-b^2v_0^2u^2\frac{d^2u}{d\phi^2} );

したがって、

&math( b^2v_0^2u^2\frac{d^2u}{d\phi^2}=\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0m}u^2+b^2v_0^2u^3 );

&math( \frac{d^2u}{d\phi^2}=-\left(\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0mb^2v_0^2}+u\right) );

この方程式は、

&math( \frac{1}{r}=A\cos(\phi+\delta)-\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0mb^2v_0^2} );

と置けば満たされる。各辺を t で微分すれば、

&math( \underbrace{\frac{1}{r^2}}_{-\frac{1}{bv_0}\frac{d\phi}{dt}}\frac{dr}{dt}=A\sin(\phi+\delta)\frac{d\phi}{dt} );

より、

&math( \frac{dr}{dt}=-Abv_0\sin(\phi+\delta) );

が得られる。

入射時、 \phi=\pi において r=\infty,\frac{dr}{dt}=v_0 より、

0=A\underbrace{\cos(\pi+\delta)}_{-\cos\delta}-\underbrace{\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0mb^2v_0^2}}_{b_0/b^2}

v_0=-Abv_0\underbrace{\sin(\pi+\delta)}_{-\sin\delta}

ここから、

\tan\delta=\frac{b}{b_0}

&math( A=\sqrt{A^2(\sin^2\delta+\cos^2\delta)} &=\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{b_0^2}{b^4}}\\ &=\frac{1}{b}\sqrt{1+\frac{b_0^2}{b^2}} );

を得る。

b>0 においては、 \phi は \pi から始まって、 散乱体に近づくに従って徐々に小さくなり、 t=\infty における \phi(\infty) が散乱角に相当する。

粒子の軌跡は散乱体に最も近づく \frac{dr}{dt}\propto -\sin(\phi+\delta)=0 となる点 ( \phi=\delta の点) に対して対象になるから、 \phi は \pi から \delta までで最近接点へ到達し、 さらに \pi-\delta だけ回った \delta-(\pi-\delta)=2\delta-\pi まで回転する事が分かる。

すなわち、散乱角 \theta=\phi(t=\infty)=2\delta-\pi であり、

&math( \tan\frac{\theta+\pi}{2}=\cot\frac{\theta}{2}=\frac{b}{b_0} );

により b と \theta の関係が与えられる。

&math( \theta=2\,\mathrm{arccot}\,\frac{b}{b_0} );

　 b/b_0 　 \theta
　 0 　 \pi 完全反射
　 1 　 \pi/2 90度曲がる
　 2.41 　 45^\circ 　　
　 3.73 　 30^\circ
　 11.43 　 10^\circ
　 114.6 　 1^\circ
　 1146 　　 0.1^\circ

b_0 は \theta=\pi/2 となる入射パラメータに相当する。

b の大きいところ、すなわち \theta の小さいところで \theta は b に反比例する。

&math( \frac{b}{b_0}=\cot\frac{\theta}{2}\sim\frac{\cos\theta/2}{\sin\theta/2}=\frac{2}{\theta} );

\theta\sim\frac{2b_0}{b} 　　 (b\gg b_0)

元の式の両辺を \theta で微分した

&math( \frac{d}{d\theta}\left(\cot\frac{\theta}{2}\right)=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sin^2\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{b_0}\frac{db}{d\theta} );

を用いて、 \theta 付近の d\theta の範囲にある立体角 2\pi\sin\theta\,d\theta へ散乱する断面積が 2\pi b\,db であることから、微分散乱断面積を求めれば、

&math( 2\pi b\,db&=\left|-2\pi b\frac{1}{2}\frac{1}{\sin^2\frac{\theta}{2}}b_0\right|d\theta\\ &=\underbrace{\left|-\frac{1}{2\sin\theta}\frac{b_0}{\sin^2\frac{\theta}{2}}b\right|}_{\sigma(\theta,\phi)}2\pi\sin\theta\,d\theta\\ );

&math( \sigma(\theta,\phi)&=\frac{1}{4\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}\frac{b_0}{\sin^2\frac{\theta}{2}}b_0\cot\frac{\theta}{2}\\ &=\frac{b_0^2}{4\sin^2\frac{\theta}{2}}\\ );

散乱ポテンシャルが無限遠までゼロにならない散乱ではすべてが散乱波であり、透過波は存在しない。

したがって、微分散乱断面積を全立体角に対して積分すれば無限大に発散する。

古典論の解をプロット †

LANG:mathematica
Module[{\[Delta], A, b0, r, points},
 points = Table[
   b0 = 1;
   \[Delta] = ArcTan[b/b0];
   A = -Sqrt[1 + b0^2/b^2]/b;
   r[\[Phi]_] := 1/(A Cos[\[Phi] + \[Delta]] - b0/b^2);
   {
    Table[{r[\[Phi]] Cos[\[Phi]], r[\[Phi]] Sin[\[Phi]]}, {\[Phi], 
      Pi - 2 \[Delta] + \[Delta]/400, 
      Pi - \[Delta]/400, \[Delta]/800}],
    Table[{r[\[Phi]] Cos[\[Phi]], -r[\[Phi]] Sin[\[Phi]]}, {\[Phi], 
      Pi - 2 \[Delta] + \[Delta]/400, Pi - \[Delta]/400, \[Delta]/800}]
    },
   {b, Table[n^3/40, {n, 2, 15}]}];
 ListLinePlot[Flatten[points, 1], PlotRange -> {{-30, 70}, {-50, 50}},
   PlotStyle -> {{Thickness[0.001], Blue}}]
 ]
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