量子力学Ⅰ/不確定性原理 のバックアップ(No.1)

不確定性原理 †

量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。 不確定性原理は例えば、 と が同時に正確に定まるような状態は存在しない、という形で言い表せる。以下、この項では と書き、一次元で考える。

上記を数学的に表わせば、 に最小値があり、ある一定値以下にはならない、ということになる。

得られる結果は次のようになる。

　&math( \sigma_x\cdot\sigma_p = \ge \frac{\hbar}{2} );

不確定性原理の導出 †

定義より、

より、

　&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 =\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle );

演算子 、 を導入すると、

　&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx );

ここで より、

　&math( \sigma_x^2=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx );

についても、

　&math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx &=\int \psi^*\left[-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle\right]^2\psi\,dx\\ &=\int

• \hbar^2\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}

1. 2i\hbar\psi^*\langle p\rangle\frac{d\psi}{dx}
2. \langle p\rangle|\psi|^2\,dx\\ );

であり、

　&math( \int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx &=\int \left[+i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}-\langle p\rangle\psi^*\right]

      \left[-i\hbar\frac{d\psi  }{dx}-\langle p\rangle\psi  \right]\,dx\\

&=\int \hbar^2\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi }{dx}

• i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}\langle p\rangle\psi

1. i\hbar\langle p\rangle\psi^*\frac{d\psi }{dx}
2. \langle p\rangle^2|\psi|^2 \,dx\\ );

部分積分により、

　&math( \int\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi}{dx}\,dx

 +\underbrace{\left[\psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}

);

　&math( \int\psi^*\frac{d\psi}{dx}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\psi\,dx

 +\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}

);

であるから、

　&math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx=\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx );

と書ける。すなわち、

　&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx );

一般の について、

　&math( \int\Bigg|f-g\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\Bigg|^2dx\ge 0 );

は積分の中が常に非負であるから必ず成立する。 等号はある定数 に対して の全範囲において となる場合のみ成り立つ。

　&math( \int|f|^2\,dx

• \int f^*g\,dx\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}
• \int fg^*\,dx\frac{\int f^*gdx}{\int|g|^2dx}

1. \int|g|^2\,dx\left(\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\right)^2 \ge 0 );

両辺に を掛けて、

　&math( \int|f|^2dx\int|g|^2dx

• \int f^*g\,dx\int fg^*dx \underbrace{-\int fg^*dx\int f^*g\,dx

1. \left(\int fg^*dx\right)^2}_{=0} \ge 0 );

したがって、

　

を得る。 、 とすれば、

　&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\left|\int (\alpha\psi)^*\beta\psi\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2 );

となる。ここで、 を用いた。 右辺は、