量子力学Ⅰ/球面調和関数/メモ のバックアップ(No.1)

解答：$m$ に関する漸化式 †

(1)

　&math( l_\pm Y_l{}^{\pm l}(\theta,\phi) &\propto \hbar e^{\pm i\phi} \Big(\pm\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{i}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \sin^l\theta e^{\pm il\phi}\\ &=\hbar e^{\pm i(l+1)\phi} \Big\{\pm(l\sin^{l-1}\theta\cos\theta)+\frac{i\cos\theta}{\sin\theta}\cdot(\pm il\sin^l\theta)\Big\}\\ &=\hbar e^{\pm i(l+1)\phi}\Big(\pm l\sin^{l-1}\theta\cos\theta\mp l\sin^{l-1}\theta\cos\theta\Big)\\ &= 0 );

(2)

　&math( &\hat l_-\hat l_+Y_l{}^{m}(\theta,\phi)=\hat l_-\hbar\sqrt{(l-m)(l+m+1)}Y_l{}^{m+1} =\hbar^2(l+m+1)(l-m)Y_l{}^m\\ &\hat l_+\hat l_-Y_l{}^{m}(\theta,\phi)=\hat l_+\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}Y_l{}^{m-1} =\hbar^2(l+m)(l-m+1)Y_l{}^{m}\\ );

(3)

　&math( \langle \hat l_x^2+\hat l_y^2\rangle &=\frac{1}{2}\left\langle (\hat l_x+i\hat l_y)(\hat l_x-i\hat l_y)+(\hat l_x-i\hat l_y)(\hat l_x+i\hat l_y)\right\rangle\\ &=\frac{1}{2}\left\langle \hat l_+\hat l_-+\hat l_-\hat l_+\right\rangle\\ );

は や の固有関数なのでこれらの値は確定して、それぞれ および であるから、

　&math( \langle \hat l_x^2+\hat l_y^2\rangle &=\frac{\hbar^2}{2}\big\{(l+m+1)(l-m)+(l+m)(l-m+1)\big\}\\ &=\hbar^2(l^2-m^2+l)\\ );