生成・消滅演算子による多粒子系の記述 のバックアップ(No.8)

波動関数の符号とフェルミ粒子の反交換関係 †

１粒子状態 $\psi_a,\psi_b$ を１つずつの粒子が占めるフェルミ粒子の波動関数は

$$ \Psi_{\psi_a,\psi_b}(\bm r_1,\bm r_2)=\frac{1}{\sqrt2}\det\begin{pmatrix} \psi_a(\bm r_1)&\psi_b(\bm r_1)\\ \psi_a(\bm r_2)&\psi_b(\bm r_2)\\ \end{pmatrix} $$

と書け、粒子を入れ替えた波動関数

$$ \Psi_{\psi_b,\psi_a}(\bm r_1,\bm r_2)=\frac{1}{\sqrt2}\det\begin{pmatrix} \psi_b(\bm r_1)&\psi_a(\bm r_1)\\ \psi_b(\bm r_2)&\psi_a(\bm r_2)\\ \end{pmatrix} $$

とは

$$ \Psi_{\psi_a,\psi_b}(\bm r_1,\bm r_2)=-\Psi_{\psi_b,\psi_a}(\bm r_1,\bm r_2) $$

のように符号が異なる。

生成演算子の適用順をスレーター行列式中の一粒子波動関数の並び順と同一視することにすると、上記の事実は

$$ \hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle=-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle $$

に対応する（$|a_1^a|=|a_1^b|=1$ なので位相だけ考えればいい）。ただしここでは $|0\rangle$ は粒子が１つもない「真空」を表す多粒子状態(ここでは無粒子状態)である。

そして生成演算子にこの性質を要求すると、$a$ と $b$ とが同一であるとき

$$ \hat c_a^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle=-\hat c_a^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle $$

$$ 2\hat c_a^\dagger \hat c_a^\dagger\,|0\rangle=0 $$

となって、２つ以上の粒子が同一の一粒子状態を占めることはない、というフェルミ粒子の性質が自然に表れる。

実は $|0\rangle$ に限らず、任意の数状態に適用した場合にも、

$$ \hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle =-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle $$

が成り立つ。というのも、元の状態に対して $n_a=n_b=0$ なら上記と同様に本来の意味での符号反転を示すのに対して、$n_a=1$ または $n_b=1$ では両辺ともゼロになるためやはり成り立つのである。結果的に、任意の多粒子状態に対して、

$$ \hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger=-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger $$

すなわち、

$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b^\dagger\}=0 $$

が成り立つことになる。

一方、上式の両辺に消滅演算子 $\hat c_a$ を適用した場合に結果が等しくなるためには、左辺は

$$ \hat c_a(\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle)= (\hat c_a\hat c_a^\dagger) \hat c_b^\dagger\,|0\rangle= \hat c_b^\dagger\,|0\rangle $$

で良いとして、右辺については

$$ \hat c_a(-\hat c_b^\dagger \hat c_a^\dagger)\,|0\rangle= \hat c_a\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle= (\hat c_a\hat c_a^\dagger) \hat c_b^\dagger\,|0\rangle= \hat c_b^\dagger\,|0\rangle $$

のように計算すべきであることがわかる。すなわち、_{消滅演算子と生成演算子とは対にして消すことができるが、これを使って粒子を消すためにはまず上記のように反交換関係を用いて演算子を入れ替え、生成演算子と消滅演算子とを隣り合う位置に持ってこなければならない}。

すると $a\ne b$ のとき、

$$ \hat c_a\hat c_b\hat (c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle) =-\hat c_a\hat c_b\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger\,|0\rangle =-\hat c_a\hat c_a^\dagger\,|0\rangle =-\,|0\rangle $$

$$ \hat c_b\hat c_a(\hat c_a^\dagger \hat c_b^\dagger\,|0\rangle) =\hat c_b\hat c_b^\dagger\,|0\rangle =|0\rangle $$

である。そこで、

$$ \hat c_a\hat c_b=-\hat c_b\hat c_a $$

を考えると、上と同様に、$n_a=0$ や $n_b=0$ のときや $a=b$ では両辺ともにゼロになるためこの式は一般の場合に成り立ち、すなわち、

$$ \{\hat c_a, \hat c_b\}=0 $$

が成り立つ。さらに $a\ne b$ に対して、

$$ \hat c_b\hat c_a^\dagger (\hat c_b^\dagger\,|0\rangle) =-\hat c_b\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger\,|0\rangle =-\hat c_a^\dagger\,|0\rangle $$

$$ \hat c_a^\dagger\hat c_b (\hat c_b^\dagger\,|0\rangle) =\hat c_a^\dagger\,|0\rangle $$

より、

$$ \hat c_a^\dagger\hat c_b=-\hat c_b\hat c_a^\dagger $$

を考えると、上と同様に、$n_a=0$ や $n_b=0$ のとき両辺ともにゼロになる。すなわち、$a\ne b$ では一般に

$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=0 $$

が成り立つ。$a=b$ の時に上で見たとおり

$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=1 $$

が成り立つとすれば、両者をまとめて

$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=\delta_{ab} $$

となる。

ここで得られた

$$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b\}=\delta_{ab} $$ $$ \{\hat c_a, \hat c_b\}=0 $$ $$ \{\hat c_a^\dagger, \hat c_b^\dagger\}=0 $$

がフェルミオンの生成・消滅演算子の反交換関係となる。

数状態の符号 †

数状態 $|n_1,n_2,\dots\rangle$ が表す多粒子波動関数を、符号を含めて $$ |n_1,n_2,\dots\rangle=(\hat c_1^\dagger)^{n_1}(\hat c_2^\dagger)^{n_2}\dots|0\rangle $$ として定義するものとしよう。これは真空状態 $|0\rangle$ に必要な生成演算子($n_i=1$ のもののみ)を降順に適用したものである。任意の $i$ に対して $\hat c_i\hat c_i^\dagger=|a_i|^2=1$ であるからこれは規格化された波動関数になる。 確かめてみよう。$(\hat A\hat B)^\dagger=\hat B^\dagger\hat A^\dagger$ に注意すると、 $$ \begin{aligned} \langle n_1,n_2,\dots|&=|n_1,n_2,\dots\rangle^\dagger\\ &=\big[(\hat c_1^\dagger)^{n_1}(\hat c_2^\dagger)^{n_2}\dots|0\rangle\big]^\dagger\\ &=\langle 0|\,\dots(\hat c_2)^{n_2}(\hat c_1)^{n_1}\\ \end{aligned} $$ これと、$c_i^0(c_i^\dagger)^0=c_i^1(c_i^\dagger)^1=1$ を使い、 $$ \begin{aligned} \|\,|n_1,n_2,\dots\rangle\,\|^2 &=\langle n_1,n_2,\dots|n_1,n_2,\dots\rangle\\ &=\langle 0|\,\dots(\hat c_2)^{n_2}\underbrace{(\hat c_1)^{n_1}(\hat c_1^\dagger)^{n_1}}_1(\hat c_2^\dagger)^{n_2}\dots|0\rangle\\ &=\langle 0|\,\dots\underbrace{(\hat c_2)^{n_2}(\hat c_2^\dagger)^{n_2}}_1\dots|0\rangle\\ &\vdots\\ &=\langle 0|0\rangle=\|\ |0\rangle\ \|^2=1 \end{aligned} $$ 例えば $$ |1,1,1,0,\dots\rangle =\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle $$ である。この定義では $$ \hat c_1\,|1,1,1,\dots\rangle =\cancel{\hat c_1\hat c_1^\dagger}\hat c_2^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle =|0,1,1,\dots\rangle $$ $$ \hat c_2\,|0,1,1,\dots\rangle =\cancel{\hat c_2\hat c_2^\dagger}\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle =|0,0,1,\dots\rangle $$ である一方、 $$ \begin{aligned} \hat c_2\,|1,1,1,\dots\rangle &=\phantom{-}\hat c_2\underbrace{\hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger}_\text{swap}\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle\\ &=-\cancel{\hat c_2\hat c_2^\dagger}\hat c_1^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle\\ &=-\phantom{\hat c_2\hat c_2^\dagger}\hat c_1^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle = -|1,0,1,\dots\rangle \end{aligned} $$ などとなって、上記の $a_1$ の符号は注目する１粒子状態以外にどの１粒子状態に電子が入っているかによって異なることになって大変ややこしい。

そこで $a_1$ の符号に注目する代わりに、 $$ \hat c_1^\dagger\hat c_2^\dagger\hat c_3^\dagger\,|0,0,0,0,\dots\rangle $$ のような生成・消滅演算子のみを用いた表記と、上記の交換関係とを用いることで符号の変化を自然に扱おうというのがここでの目的である。

ボーズ粒子の波動関数と交換関係 †

ボーズ粒子の多粒子波動関数をスレーター行列のパーマネントで作った場合、 粒子の入れ替えに対して波動関数の符号は変化しない。 これは生成演算子の順番が異なっても上記の $|a_n|$ の位相は変化しないことを表す。

ただしフェルミ粒子と同様に $$ |n_1,n_2,\dots\rangle{\overset?=} (c_1^\dagger)^{n_1}(c_2^\dagger)^{n_2}\dots|0\rangle $$ としてしまうと、上で見た通り $|a_n|=\sqrt n$ であるため右辺は規格化されていない。 例えば、 $$ \begin{aligned} \|\ |2\rangle\ \|^2 &=\|\ c^\dagger c^\dagger|0\rangle\ \|^2\\ &=\langle 0|\hat c\,\underbrace{\hat c\,\hat c^\dagger}_2 \hat c^\dagger|0\rangle\\ &=2\langle 0|\,\underbrace{\hat c\,\hat c^\dagger}_1 |0\rangle\\ &=2!\ \ \ \ \ \ \to\ \ \ \ \ \ \|\ |2\rangle\ \|=\sqrt{2!} \end{aligned} $$ 規格化するには $$ |n_1,n_2,\dots\rangle= \left\{\prod_i\frac1{\sqrt{n_i!}} (\hat c_i^\dagger)^{n_i}\right\}|0\rangle $$ などとする必要がある。

粒子の入れ替えで波動関数が変化しないため、 $$ \begin{aligned} \hat c_a^\dagger\hat c_b^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle &=\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle \end{aligned} $$ すなわち、 $$ [\hat c_a^\dagger,\hat c_b^\dagger]=\hat c_a^\dagger\hat c_b^\dagger-\hat c_b^\dagger\hat c_a^\dagger=0 $$ である（上述のとおり両辺は規格化されていないことの注意せよ）。同様に、 $$ [\hat c_a,\hat c_b]=\hat c_a\hat c_b-\hat c_b\hat c_a=0 $$ も確かめられる（$n_a=0$ や $n_b=0$ でも成り立つ）。また、$a\ne b$ のとき、 $$ \begin{aligned} \hat c_a\hat c_b^\dagger\,|n_1,n_2,\dots\rangle &=\sqrt{n_a+1}\,\sqrt{n_b}\ |n_1,n_2,\dots,n_a-1,\dots,n_b+1,\dots\rangle\\ &=\hat c_b^\dagger\hat c_a\,|n_1,n_2,\dots\rangle \end{aligned} $$ となり、 $$ [\hat c_a,\hat c_b^\dagger]=\hat c_a\hat c_b^\dagger-\hat c_b^\dagger\hat c_a=0 $$ であるのに対して、$a=b$ のときには上で見た通り

$$ [\hat c_a,\hat c_a^\dagger]=\hat c_a\hat c_a^\dagger-\hat c_a^\dagger\hat c_a=1 $$

であるので、これらをまとめると $a=b, a\ne b$ どちらに対しても以下の交換関係が認められる。

$$ [\hat c_a,\hat c_a^\dagger]=\delta_{ab} $$ $$ [\hat c_a^\dagger,\hat c_b^\dagger]=0 $$ $$ [\hat c_a,\hat c_b]=0 $$