量子力学Ⅰ/調和振動子 のバックアップ(No.1)

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量子力学Ｉ?

１次元の調和振動子 †

調和振動子のポテンシャルは V(x)=\frac{1}{2}kx^2 であるから、時間に依存しないシュレーディンガー方程式は

　&math( \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{k}{2}x^2\right)\psi(x)=E\psi(x) );

このような方程式を解く場合には、変数を無次元化するのが常套手段である。 すなわち、長さの次元を持つ自由変数 x を変数変換して、無次元の量 \xi で記述する。 ここでは、

　 \xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x , \lambda=\frac{2E}{\hbar\omega}

と置くと良い。ただし、 \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} は古典論から得られる角振動数である。 すると与式は、

　&math( \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\xi^2-\lambda\right)\psi(\xi)=0 );

となる。 \xi の大きなところでは \lambda\ll \xi^2 となるから、 そこでは \psi は近似的に次の方程式を満たす。

　&math( \frac{d^2}{d\xi^2}\psi(\xi)=\xi^2\psi(\xi) );

ここから予想されるのは、

　&math( \psi(\xi)=H(\xi)e^{\pm\xi^2/2} );

という解の形である。系が x=0 付近に束縛されていることから、 複号は負を取る。

　&math( &-\frac{d^2}{d\xi^2}\big[H(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda H(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-\frac{d}{d\xi}\big[H'(\xi)e^{-\xi^2/2}-\xi H(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda H(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-H''(\xi)e^{-\xi^2/2}+2\xi H'(\xi)e^{-\xi^2/2}+H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda H(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=0\\ );

両辺を e^{-\xi^2/2}\ne 0 で割れば、

　&math( H''(\xi)=2\xi H'(\xi)+(1-\lambda) H(\xi) );

を得る。 H(\xi)=\sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l と置いて代入すれば、

　&math( \sum_{l=0}^\infty l(l-1)c_l\xi^{l-2}=2\xi \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^{l-1}+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l );

より l\ge 0 において、

　 (l+2)(l+1)c_{l+2}=(2l+1-\lambda)c_l

　 c_{l+2}=\frac{2l+1-\lambda}{(l+2)(l+1)}c_l

を得る。この式によれば、 c_0 を適当に決めると c_{2n} が、 c_1 を適当に決めると c_{2n+1} が、 それぞれすべて決まることになる。

c_0=0 あるいは c_1=0 あるいは 2l+1-\lambda=0 が成立すれば、 それより大きな l に対して c_l がゼロになるが、 そうでない限り c_l がゼロになることはない。

c_l がゼロにならない場合、 l\to \infty において

　 \frac{c_{l+2}}{c_l}=\frac{2l+1-\lambda}{(l+2)(l+1)}\to \frac{2}{l}

が成り立つ。これは

　 f(\xi)=e^{2\xi^2}=frac{1}{0!}+\frac{2}{1!}\xi^2+\frac{2^2}{2!}\xi^4+\frac{2^3}{3!}\xi^6+\dots

とした時の係数の比と同じであり、このようになっていては H(\xi)e^{-\xi^2/2} が \xi\to\pm\infty でゼロに収束するという境界条件を満たさない。

すなわち、 c_0 あるいは c_1 のどちらかがゼロであり、 もう一方と同じ偶奇性（パリティ）を持つある l=n において \lambda=2l+1 が成立することが境界条件から要求され、 その結果 c_l\ne 0 となる項は有限個となる。

  • n=0 のとき \lambda=1 , H_0(\xi)=1
  • n=1 のとき \lambda=3 , H_1(\xi)=2\xi
  • n=2 のとき \lambda=5 , H_2(\xi)=4(1-2\xi^2)
  • n=3 のとき \lambda=7 , H_3(\xi)=c_1(\xi-\frac{2}{3}\xi^3)
  • n=4 のとき \lambda=8 , H_4(\xi)=c_0(1-4\xi^2+\frac{4}{3}\xi^4)
  • ・・・

ここで現れた多項式 H_n(\xi) はエルミートの多項式と呼ばれる。

３次元の調和振動子 †

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