量子力学Ⅰ/３次元調和振動子 のバックアップ(No.1)

$x,y,z$ 座標形で求めた解と球座標解との対応 †

３次元調和振動子を 座標で説いた結果得られた解をエネルギーの低いものから並べれば、

などとなる。

一方、同じ系を球座標で解けば、

のように、 の解は縮退がなく、 の解は３重に、 は５重に縮退していることが期待される。

したがって、

• 縮退のない は の s 状態
• ３重に縮退した は の p 状態
• ６重に縮退した は２つの p 状態、あるいは s 状態と d 状態が１つずつ、縮退した状態*1実際にはこの場合は後者である

にそれぞれ対応していることが期待され、以下に見るように確かにそのようになっている。

$n=0$ の解 †

　

は に依存しておらず、そのような は のみである。

すなわち は s 状態である。

$n=1$ の解 †

　

　

　

ここで、

　&math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} );

であるから、

　

　

　

これらはすべて つまり p 状態であることが分かる。

ここから が の に対する固有関数であることが分かる。

に対してはそのままでは の固有関数ではないが、

　

　

とすることにより のそれぞれ の固有関数となることが分かる。

$n=2$ の解 †