スピントロニクス理論の基礎/X-3 のバックアップ差分(No.2)
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[[スピントロニクス理論の基礎]] #contents * X-3 δ関数 [#w1e3469a] ** 定義 [#d37a3ca3] δ関数を解析関数の極限として定義する方法はいくつかあるみたいだけれど、 以下の定義は使い勝手が良いらしい。 &math( \delta(x)=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2} ); と置くと、この関数はδ関数となる。 - &math(\delta(-x)=\delta(x)); - &math( &math(\delta(-x)=\delta(x)); は自明。 &math(\int_a^b f(x)\delta(x)dx=f(0)); も、以下のようにして成り立つ。 &math( &\int_a^b f(x)\delta(x)dx=\int_a^b f(x)\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}dx\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_a^b f(x)\frac{\delta}{x^2+\delta^2}dx\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{\delta}{(t\delta)^2+\delta^2}d(t\delta)\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{\delta}{(t^2+1)\delta^2}\cdot\delta dt\\ &=\frac{1}{\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{a/\delta}^{b/\delta} f(t\delta)\frac{1}{t^2+1} dt\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\infty}^{(\mathrm{sgn}\,b)\infty} f(0)\frac{1}{t^2+1} dt\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\infty}^{(\mathrm{sgn}\,b)\infty} \frac{1}{t^2+1} dt\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} \frac{1}{(\tan \theta)^2+1} d(\tan \theta)\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} \frac{(\tan \theta)^2+1}{(\tan \theta)^2+1} d\theta\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\int_{(\mathrm{sgn}\,a)\pi/2}^{(\mathrm{sgn}\,b)\pi/2} d\theta\\ &=\frac{1}{\pi}f(0)\frac{\pi}{2}[\mathrm{sgn}\,b-\mathrm{sgn}\,a]\\ &=\begin{cases} 0 & (0<a,b)\\ f(0) & (a<0,0<b)\\ 0 & (a,b<0)\\ -f(0) & (b<0,0<a)\\ \end{cases} ); ** フーリエ変換・逆フーリエ変換 [#m357fd20] &math( \int_{-\infty}^\infty \delta(x)e^{-ikx}dx=e^{-ik\cdot 0}=1 ); は良いとして、逆フーリエ変換はちょっと工夫が必要。 &math( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk &=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{ix k}dk +\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^0 e^{ix k}dk\\ &=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_0^\infty e^{(ix -\delta)k}dk +\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\int_{-\infty}^0 e^{(ix+\delta) k}dk \\ &=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{ix -\delta}e^{(ix -\delta)k}\right]_0^\infty +\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[\frac{1}{ix +\delta}e^{(ix +\delta)k}\right]_{-\infty}^0\\ &=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix -\delta}(0-1) +\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix +\delta}(1-0)\\ &=-\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix-\delta} +\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{ix+\delta}\\ &=\frac{1}{2\pi}\lim_{\delta\rightarrow +0}\left[-\frac{1}{ix-\delta}+\frac{1}{ix+\delta}\right]\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\frac{-2\delta}{-x^2-\delta^2}\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2-\delta^2}\\ &=\delta(x) ); 正側と負側とでδを同時にゼロに近づけないと最後の答えにたどり着かないので、 その意味でこの積分は「主値」を取っていることになるのだと思う。 ** δ関数の「半身」について [#z148ec40] 上記計算の途中に現われる表現を使うと、 逆フーリエ変換の上半分と下半分に現われるそれぞれの関数をそれぞれ別個に評価できる。 &math( \delta(x) &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\left[-\frac{1}{ix-\delta}+\frac{1}{ix+\delta}\right]\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\left[\frac{1}{x+i\delta}-\frac{1}{x-i\delta}\right]\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\left[\frac{x-i\delta}{x^2+\delta^2}-\frac{x+i\delta}{x^2+\delta^2}\right]\\ &=\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\left[ \left(\frac{x}{x^2+\delta^2}-\frac{i\delta}{x^2+\delta^2}\right) -\left(\frac{x}{x^2+\delta^2}+\frac{i\delta}{x^2+\delta^2}\right)\right]\\ &= \left(\frac{i}{2\pi x}+\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}\right) -\left(\frac{i}{2\pi x}-\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{2\pi}\frac{\delta}{x^2+\delta^2}\right)\\ &= \left(\frac{i}{2\pi x}+\frac{1}{2}\delta(x)\right) -\left(\frac{i}{2\pi x}-\frac{1}{2}\delta(x)\right) ); したがって、 &math( \frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{ix k}dk =\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\frac{1}{x+i\delta} = \frac{i}{2\pi x}+\frac{1}{2}\delta(x) ); &math( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^0 e^{ix k}dk =\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{i}{2\pi}\frac{-1}{x-i\delta} = -\frac{i}{2\pi x}+\frac{1}{2}\delta(x) ); という表式を得る。 ** 1/(x+i0) について [#xb13dcd9] 上記の式を変形すると、 &math( \lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{x\pm i\delta} \equiv\frac{1}{x\pm i0} = \frac{1}{x}\mp i\pi\delta(x) ); さらに、 &math( & \lim_{\delta\rightarrow +0} \left(\frac{1}{x\pm i\delta}\right)^2 =\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{1}{x^2\pm 2i\delta x-\delta^2} =\lim_{\delta\rightarrow +0}\frac{(x^2-\delta^2)\mp 2i\delta x}{(x^2-\delta^2)^2 + 4\delta^2x^2}\\ & =\lim_{\delta\rightarrow +0}\left(\frac{x^2-\delta^2}{(x^2+\delta^2)^2}\mp\frac{2i\delta x}{(x^2+\delta^2)^2}\right) =\frac{1}{x^2}\mp\lim_{x\rightarrow +0}\frac{2\pi i x}{(x^2+\delta^2)^2}\frac{\delta}{\pi(x^2+\delta^2)}\\ &=\frac{1}{x^2}\mp\frac{2\pi i}{x}\delta(x) ); これと比較すると、恐らく &math( & \left(\frac{1}{x\pm i0}\right)^2 =\frac{1}{x^n\pm ni0x^{n-1}+O(0)^2+\dots} =\frac{1}{x^n\pm ni0x^{n-1}}\\ & =\frac{1}{x^{n-1}}\frac{1}{x\pm ni0} =\frac{1}{x^{n-1}}\left[\frac{1}{x}\mp n\pi i\delta(x)\right] ); とか計算できそうなんだけど、間違っているっぽい？？？ どうも教科書の結果と合わない気がする・・・
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